Какова работа изотермического расширения газовой смеси, состоящей из 0,12 кг водорода и 1,4 кг азота, с давлением

Diana_7845

44

Для решения данной задачи, воспользуемся формулой для расчёта работы изотермического расширения:

\[W = P_{внешн} \cdot V \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)\]

где:
\(W\) - работа изотермического расширения,
\(P_{внешн}\) - внешнее давление,
\(V_1\) - начальный объём,
\(V_2\) - конечный объём.

Для начала определим начальный и конечный объёмы газовой смеси. Исходя из данных задачи, у нас есть масса \(m_1\) и \(m_2\) водорода и азота соответственно.

Масса газа можно связать с его объёмом с помощью уравнения состояния идеального газа:

\[PV = nRT\]

где:
\(P\) - давление,
\(V\) - объём,
\(n\) - количество вещества газа,
\(R\) - универсальная газовая постоянная (8.314 Дж/(моль·К)),
\(T\) - температура.

Мы можем выразить количество вещества газа через его массу и молярную массу:

\[n = \frac{m}{M}\]

где:
\(m\) - масса газа,
\(M\) - молярная масса газа.

Таким образом, можем записать уравнение в виде:

\[PV = \frac{m}{M}RT\]

Перейдём к вопросу конкретной задачи. Мы знаем, что давление до расширения (\(P_1\)) составляет \(1.1013 \times 10^6\) Па, а давление после расширения (\(P_2\)) равно \(1.1013 \times 10^5\) Па. Нам также даны температура и массы водорода (\(m_1 = 0.12\) кг) и азота (\(m_2 = 1.4\) кг).

Начальный объём до расширения (\(V_1\)) можно найти из уравнения состояния идеального газа, подставив известные значения:
\[
P_1 \cdot V_1 = \frac{m_1}{M_1}RT
\]
где \(M_1\) - молярная масса водорода.

Аналогично, конечный объём после расширения (\(V_2\)) можно найти из уравнения состояния идеального газа:
\[
P_2 \cdot V_2 = \frac{m_1}{M_1}RT
\]

Так как процесс расширения происходит изотермически (при постоянной температуре), то у нас \(T = const\).

Теперь, чтобы найти работу изотермического расширения газовой смеси, подставим найденные значения в формулу:

\[
W = P_{внешн} \cdot V \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = P_1 \cdot V_1 \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)
\]

Выразим начальный объём \(V_1\) из первого уравнения состояния идеального газа:

\[
V_1 = \frac{m_1}{M_1} \cdot \frac{RT}{P_1}
\]

Также выразим конечный объём \(V_2\) из второго уравнения состояния идеального газа:

\[
V_2 = \frac{m_1}{M_1} \cdot \frac{RT}{P_2}
\]

Подставим найденные значения в формулу для работы:

\[
W = P_1 \cdot \left(\frac{m_1}{M_1} \cdot \frac{RT}{P_1}\right) \cdot \ln\left(\frac{\frac{m_1}{M_1} \cdot \frac{RT}{P_2}}{\frac{m_1}{M_1} \cdot \frac{RT}{P_1}}\right)
\]

Используя свойства логарифма, можно упростить данное уравнение:

\[
W = P_1 \cdot \left(\frac{m_1}{M_1} \cdot \frac{RT}{P_1}\right) \cdot \ln\left(\frac{P_1}{P_2}\right)
\]

После упрощения получим окончательную формулу для работы изотермического расширения газовой смеси:

\[
W = \frac{m_1}{M_1} \cdot RT \cdot \ln\left(\frac{P_1}{P_2}\right)
\]

Теперь, чтобы найти значение работы, подставим известные значения в данную формулу:

\[
W = \frac{0.12}{2.02 \times 10^{-3}} \cdot 8.314 \cdot 298 \cdot \ln\left(\frac{1.1013 \times 10^6}{1.1013 \times 10^5}\right)
\]