Какова разница между наибольшей и наименьшей высотами прямоугольного треугольника, который имеет катеты длиной

Yantar

64

Хорошо, давайте посчитаем разницу между наибольшей и наименьшей высотами прямоугольного треугольника, у которого катеты имеют длину \(a\) и \(b\).

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где AB и BC - катеты, а AC - гипотенуза. Понятно, что высота, опущенная из прямого угла треугольника, будет равна одной из катетов, а высота, опущенная из острого угла, будет равна гипотенузе.

Для начала, посчитаем высоту, опущенную из прямого угла треугольника. Она будет равна катету, не примыкающему к прямому углу. Пусть это будет катет \(h_1\), а длины катетов обозначим как \(a\) и \(b\). В силу того, что треугольник прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора:
\[h_1^2 = a^2 + b^2\]

А теперь посчитаем высоту, опущенную из острого угла треугольника. Она будет равна гипотенузе. Обозначим ее как \(h_2\). Опять-таки, используем теорему Пифагора:
\[h_2^2 = a^2 + b^2\]

Теперь вычислим разницу между \(h_1\) и \(h_2\):
\[\Delta h = h_1 - h_2\]

Подставим значения \(h_1\) и \(h_2\) в формулу:
\[\Delta h = \sqrt{a^2 + b^2} - \sqrt{a^2 + b^2}\]

Раскроем скобки и упростим выражение:
\[\Delta h = 0\]

Таким образом, разница между наибольшей и наименьшей высотами прямоугольного треугольника, у которого катеты имеют длину \(a\) и \(b\), равна нулю. Объяснение заключается в том, что высоты треугольника располагаются на сторонах треугольника, и поскольку катеты в прямоугольном треугольнике являются перпендикулярными, то их длина одинакова и следовательно, разница между высотами равна нулю.

Надеюсь, это пошаговое решение даст вам понятное объяснение разницы между высотами прямоугольного треугольника с катетами \(a\) и \(b\).