Какова разница в освещённости, создаваемой двумя звёздами одинаковой яркости на Земле, если одна из них находится

Сергеевич

38

Давайте рассмотрим данную задачу подробно и пошагово.

Шаг 1: Определение освещенности на Земле от каждой звезды
Освещенность, создаваемая звездой, убывает с расстоянием в соответствии с зависимостью, известной как обратный квадрат расстояния. Это означает, что освещенность убывает пропорционально квадрату расстояния между наблюдателем и источником света.

Формула для расчета освещенности (E) на Земле от звезды, основанная на этом принципе, имеет вид:
\[E = \frac{L}{4\pi d^2}\]
где E - освещенность, L - яркость звезды, d - расстояние от звезды до Земли.

Шаг 2: Вычисление разницы в освещенности
У нас есть две звезды с одинаковой яркостью, поэтому L будет одинаковой для обоих звезд.

Для первой звезды, находящейся на расстоянии 10 пк:
\[E_1 = \frac{L}{4\pi (10\text{ пк})^2}\]

Для второй звезды, находящейся на расстоянии 1000 пк:
\[E_2 = \frac{L}{4\pi (1000\text{ пк})^2}\]

Шаг 3: Расчет разницы в яркости в звездных величинах
Разница в видимых яркостях двух звезд может быть найдена с использованием формулы:
\[m_1 - m_2 = -2.5 \log\left(\frac{E_1}{E_2}\right)\]

где m1 и m2 - видимые яркости первой и второй звезд соответственно.

Подставим значения освещенности E1 и E2:
\[m_1 - m_2 = -2.5 \log\left(\frac{\frac{L}{4\pi (10\text{ пк})^2}}{\frac{L}{4\pi (1000\text{ пк})^2}}\right)\]

Упрощая выражение:
\[m_1 - m_2 = -2.5 \log\left(\frac{(100\text{ пк})^2}{(10\text{ пк})^2}\right)\]

Из этого выражения видно, что разница в яркости m1 - m2 зависит только от отношения квадратов расстояний (100 пк/10 пк)^2.

Шаг 4: Вычисление разницы в яркости
Подставим значения в формулу и произведем вычисления:
\[m_1 - m_2 = -2.5 \log\left(\frac{(100\text{ пк})^2}{(10\text{ пк})^2}\right) = -2.5 \log(100^2) = -2.5 \log(10000) = -2.5 \times 4 = -10\]

Таким образом, разница в видимых яркостях двух звезд составляет 10 звездных величин.