Какова скорость, которую планета, сравнимая по массе с Землей и с двукратно меньшим радиусом, должна достичь

Poyuschiy_Dolgonog

27

Для успешного запуска планеты в космос необходимо учесть несколько факторов. Давайте разберемся подробнее.

Для начала, скорость, необходимая для успешного запуска в космос, называется первой космической скоростью (также известна как скорость обращения). Это минимальная скорость, при которой тело сможет преодолеть гравитационное притяжение планеты и уйти на орбиту.

Для нахождения первой космической скорости необходимо использовать законы сохранения энергии. Предположим, что планета запускается с поверхности Земли, и будем пренебрегать потерями энергии из-за трения с атмосферой.

Пусть \(M\) - масса планеты, \(R\) - радиус планеты, \(m\) - масса Земли, \(r\) - радиус Земли, \(g\) - ускорение свободного падения на поверхности Земли.

Гравитационная потенциальная энергия планеты на поверхности составит:
\[E_{\text{пот}} = -\frac{G \cdot M \cdot m}{R}\]

Где \(G\) - гравитационная постоянная.

Кинетическая энергия планеты в момент запуска на поверхности будет равна:
\[E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} \cdot M \cdot v^2\]

По закону сохранения энергии, эти две энергии должны равняться:
\[-\frac{G \cdot M \cdot m}{R} = \frac{1}{2} \cdot M \cdot v^2\]

Масса планеты можно выразить через массу Земли и радиус планеты:
\[M = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \cdot \rho\]

Где \(\rho\) - плотность планеты (предполагаем постоянной и одинаковой для планеты и Земли).

Подставляем это значение в уравнение:
\[-\frac{G \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \cdot \rho \cdot m}{R} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \cdot \rho \cdot v^2\]

Упрощаем уравнение, сокращая общие множители:
\[-\frac{G \cdot m}{R} = \frac{1}{2} \cdot v^2\]

Выражаем \(v\) через данное уравнение:
\[v = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot m}{R}}\]

Теперь у нас есть формула для нахождения первой космической скорости. Из условия задачи известно, что планета имеет двукратно меньший радиус Земли. Значит, её радиус \(R\) будет равен \(\frac{1}{2} \cdot r\). Подставляем это значение:
\[v = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot m}{\frac{1}{2} \cdot r}} = \sqrt{\frac{4 \cdot G \cdot m}{r}}\]

Таким образом, скорость, которую должна достичь планета для успешного запуска в космос, будет равна \(\sqrt{\frac{4 \cdot G \cdot m}{r}}\), где \(G\) - гравитационная постоянная, \(m\) - масса Земли, \(r\) - радиус планеты.

Помните, что данная формула является теоретической и не учитывает другие факторы, такие как атмосфера и сила сопротивления во время запуска. Однако она поможет вам понять, какая скорость требуется для отправки планеты в космос.