Какова скорость заряженного шарика, перпендикулярная вектору индукции магнитного поля, при влете в область с индукцией

Южанин_3046

67

Чтобы решить задачу о скорости заряженного шарика, перпендикулярной вектору индукции магнитного поля, мы можем использовать формулу для силы Лоренца.

Сила Лоренца на заряженную частицу в магнитном поле может быть вычислена с использованием следующей формулы:

\(\vec{F} = q \cdot (\vec{v} \times \vec{B})\),

где:
- \(\vec{F}\) - сила, действующая на заряженную частицу,
- \(q\) - величина заряда частицы,
- \(\vec{v}\) - вектор скорости частицы,
- \(\vec{B}\) - вектор магнитной индукции.

В данной задаче известны:
- Величина индукции магнитного поля: \(B = 0.2 \, Тл\),
- Начальная скорость шарика: \(v = 1000 \, м/с\).

Мы также знаем, что сила Лоренца является перпендикулярной к вектору магнитной индукции и вектору скорости заряженного шарика. Это означает, что сила Лоренца будет направлена перпендикулярно к вектору скорости, в соответствии с правилом левой руки.

В данной задаче мы просим найти скорость заряженного шарика, поэтому мы можем использовать формулу для силы Лоренца, чтобы выразить скорость:

\(\vec{F} = q \cdot (\vec{v} \times \vec{B})\).

Так как сила Лоренца перпендикулярна к вектору скорости, мы можем выразить модуль силы Лоренца:

\(F = q \cdot v \cdot B\).

Подставив известные значения в формулу, получим:

\(F = q \cdot v \cdot B\).

Мы должны учесть, что сила Лоренца создает центростремительное ускорение, которое направлено перпендикулярно вектору скорости. Поэтому модуль силы Лоренца также может быть записан как \(F = m \cdot a\), где \(m\) - масса шарика, а \(a\) - ускорение.

Используя это выражение и теорему Ньютона \(F = m \cdot a = m \cdot \frac{{dv}}{{dt}}\), мы можем записать:

\(q \cdot v \cdot B = m \cdot \frac{{dv}}{{dt}}\).

Теперь мы можем переписать это дифференциальное уравнение в виде:

\(q \cdot B \cdot dt = \frac{{m \cdot dv}}{v}\).

Интегрируя это уравнение по отрезку времени от \(t_0\) до \(t\), и соответствующему интервалу скорости от \(v_0\) до \(v\), мы получим:

\(q \cdot B \cdot (t - t_0) = m \cdot (ln(v) - ln(v_0))\).

Для удобства примем \(t_0 = 0\) и \(v_0 = 0\), так как мы заинтересованы только в конечной скорости, и получим:

\(q \cdot B \cdot t = m \cdot ln(v)\).

Теперь нам нужно избавиться от натурального логарифма. Возведем обе части уравнения в экспоненту:

\(e^{q \cdot B \cdot t} = v^m\).

Используя определение экспоненты как \(e^x = y \Leftrightarrow x = ln(y)\), получим:

\(q \cdot B \cdot t = ln(v^m)\).

Это можно упростить, заметив, что \(ln(x^y) = y \cdot ln(x)\):

\(q \cdot B \cdot t = m \cdot ln(v)\).

Наконец, делим обе части уравнения на \(q \cdot B \cdot t\), чтобы найти скорость:

\(v = e^{\frac{{m \cdot ln(v)}}{{q \cdot B \cdot t}}}\).

Теперь мы можем подставить известные значения в данное уравнение:

\(v = e^{\frac{{0 \cdot ln(1000)}}{{q \cdot 0.2 \cdot t}}}\).

Но нам известно, что \(ln(1) = 0\), поэтому упростим уравнение:

\(v = e^{\frac{0}{0}} = 1\).

Таким образом, скорость заряженного шарика будет равна \(1 \, м/с\).

Обратите внимание, что в данной задаче скорость не зависит от начальной скорости и времени, а составляет постоянное значение величиной \(1 \, м/с\).