Какова средняя длина свободного пробега молекул углекислого газа в сосуде объемом 1 литр, содержащем 4,4 г газа?

Амелия

3

Чтобы найти среднюю длину свободного пробега молекул углекислого газа, мы можем использовать формулу:

\[l = \frac{{kT}}{{\sqrt{2}\pi d^2 P}}\]

где \(l\) - средняя длина свободного пробега, \(k\) - постоянная Больцмана, \(T\) - температура в кельвинах, \(d\) - диаметр молекулы, \(P\) - давление газа.

Первым делом, нам нужно выразить все значения в правильных единицах измерения.

Температура измеряется в Кельвинах, поэтому давайте преобразуем ее из градусов Цельсия. Для этого мы будем использовать формулу:

\[T(K) = T(°C) + 273.15\]

Температура обычно составляет около 20 °C, поэтому:

\[T = 20 + 273,15 = 293,15 K\]

Теперь нам нужно выразить давление в правильных единицах измерения. Обычно используются паскали, но мы можем использовать атмосферы (atm) в данном случае.

Значение атмосферного давления примерно равно 1 атм, что эквивалентно 101325 Па.

Теперь мы можем пересчитать давление из граммов на сантиметры квадратные (г/см²) в атмосферы.

Необходимо знать, что 1 атм = 760 мм рт. ст. = 101325 Па.

Используем формулу:

\[P(atm) = \frac{{P(г/см²) \times 1 атм}}{{101325 Па}}\]

Для данной задачи:

\[P(г/см²) = \frac{{4,4}}{4,4} = 1 г/см²\]

\[P(atm) = \frac{{1 г/см² \times 1 атм}}{{101325 Па}}\]

Чтобы найти диаметр молекулы \(d\), мы можем использовать формулу:

\[d = \left( \frac{{4 \times M}}{{\pi \times N_A \times \rho}} \right)^{1/3}\]

где \(M\) - молярная масса молекулы углекислого газа, \(N_A\) - число Авогадро, \(6.02214076 \times 10^{23}\), и \(\rho\) - плотность углекислого газа.

Теперь нам нужно выразить молярную массу \(M\) в правильных единицах измерения. Молярная масса углекислого газа (CO2) равна 44 г/моль.

Для решения данной задачи:

\[d = \left( \frac{{4 \times 44}}{{\pi \times 6.02214076 \times 10^{23} \times 1,98}} \right)^{1/3}\]

Теперь у нас есть все необходимые значения для вычисления средней длины свободного пробега \(l\).

Вычислим:

\[l = \frac{{1,38 \times 10^{-23} \, \text{Дж/К} \times 293,15 \, \text{K}}}{{\sqrt{2} \times \pi \times (2,25 \times 10^{-8} \, \text{см})^2 \times 1 \, \text{атм}}}\]

После решения этого выражения, мы получим среднюю длину свободного пробега молекул углекислого газа в сосуде объемом 1 литр.