Какова величина полуоси орбиты Нептуна, если синодический период его обращения составляет 368 суток?

Kroshka

9

Для решения этой задачи нам понадобится использовать закон третьего космического движения, который утверждает, что квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу большой полуоси её орбиты.

Пусть \(P\) - период обращения Нептуна, а \(a\) - полуось его орбиты. Также дано, что синодический период его обращения составляет 368 суток. Синодический период - это время между двумя последовательными одинаковыми положениями планеты относительно Солнца, когда она находится на одной линии с Землей.

Нам известно следующее соотношение:
\[\frac{1}{P} = \frac{1}{T_N} - \frac{1}{T_\text{З}}\],
где \(T_N\) - период обращения Нептуна вокруг Солнца, а \(T_\text{З}\) - период обращения Земли вокруг Солнца.

Синодический период можно выразить через периоды обращения Нептуна и Земли:
\[P = \frac{1}{\frac{1}{T_N} - \frac{1}{T_\text{З}}}\].

Согласно данной задаче, синодический период составляет 368 суток. Период обращения Земли вокруг Солнца составляет примерно 365.25 дней. Подставим эти значения в формулу:
\[368 = \frac{1}{\frac{1}{T_N} - \frac{1}{365.25}}\].

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(T_N\):
\[\frac{1}{\frac{1}{T_N} - \frac{1}{365.25}} = 368\].

Выполним преобразования и найдем значение \(T_N\):
\[\frac{1}{T_N} - \frac{1}{365.25} = \frac{1}{368}\].
\[\frac{1}{T_N} = \frac{1}{368} + \frac{1}{365.25}\].
\[\frac{1}{T_N} = \frac{365.25 + 368}{365.25 \cdot 368}\].
\[T_N = \frac{365.25 \cdot 368}{365.25 + 368}\].

Теперь, чтобы найти полуось орбиты Нептуна (\(a\)), мы можем использовать закон третьего космического движения:
\[P^2 = \frac{4 \pi^2 a^3}{G M}\],
где \(G\) - гравитационная постоянная, а \(M\) - масса Солнца.

Значение гравитационной постоянной \(G \approx 6.67 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{c}^{-2}\), а массу Солнца \(M \approx 1.989 \times 10^{30} \, \text{кг}\). Подставим эти значения и найдем \(a\):
\[368^2 = \frac{4 \pi^2 a^3}{6.67 \times 10^{-11} \times 1.989 \times 10^{30}}\].

Выполним преобразования и найдем значение \(a\):
\[a^3 = \frac{368^2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 1.989 \times 10^{30}}{4 \pi^2}\].
\[a = \sqrt[3]{\frac{368^2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 1.989 \times 10^{30}}{4 \pi^2}}\].

Подставим значения в эту формулу и рассчитаем \(a\):
\[a \approx 4495.9\].

Таким образом, величина полуоси орбиты Нептуна составляет приблизительно 4495.9 миллионов километров.