Какова величина вектора смещения через 1,6 секунды после начала движения, если вектор скорости частицы задается

Zvezdnaya_Noch

43

Для решения данной задачи нам дано уравнение скорости частицы: \(\mathbf{v} = 2t\mathbf{i} + 3t^2\mathbf{j}\), где \(\mathbf{i}\) и \(\mathbf{j}\) - единичные векторы. Мы должны вычислить вектор смещения через 1,6 секунды после начала движения.

Для нахождения вектора смещения нам необходимо проинтегрировать уравнение скорости по переменной времени \(t\). Так как у нас есть коэффициенты t и t^2, нам понадобится использовать интегрирование по частям.

Интегрируя функцию \(v(t)\) по времени, получаем:
\[x(t) = \int 2t \mathbf{i} dt + \int 3t^2 \mathbf{j} dt\]

Интегрируя по переменной \(t\), получаем:
\[x(t) = t^2 \mathbf{i} + t^3 \mathbf{j} + \mathbf{C}\]

Где \(\mathbf{C}\) - константа интегрирования.

Для определения нам нужно знать начальные условия. Поскольку не было предоставлено начальное положение частицы, мы не можем найти точное значение.

Однако, если относительное положение нас не интересует, то мы можем найти вектор смещения. Для этого необходимо вычислить разность положений частицы через заданный промежуток времени.

Используя полученное уравнение \(x(t) = t^2 \mathbf{i} + t^3 \mathbf{j} + \mathbf{C}\) и подставим в него значения времени, равные 1.6 секунды.

\[x(1.6) = (1.6)^2 \mathbf{i} + (1.6)^3 \mathbf{j} + \mathbf{C}\]

Определить константу \(\mathbf{C}\) мы не можем без начального положения, поэтому полученное уравнение будет представлять собой вектор смещения относительно начального положения частицы после 1,6 секунды.

Подставив значения, получим:
\[x(1.6) \approx 2.56 \mathbf{i} + 4.096 \mathbf{j} + \mathbf{C}\]

Таким образом, вектор смещения через 1,6 секунды будет примерно равен \(2.56 \mathbf{i} + 4.096 \mathbf{j} + \mathbf{C}\), где \(\mathbf{C}\) - неизвестная константа интегрирования, определяющая начальное положение частицы.