Какова вероятность извлечения трех окрашенных деталей, если в ящике находится 15 деталей, включая 10 окрашенных

Iskryaschayasya_Feya

9

Хорошо, давайте посмотрим на эту задачу. У нас есть ящик с 15 деталями, включая 10 окрашенных деталей. Мы хотим узнать, какова вероятность извлечения трех окрашенных деталей из ящика.

Для решения этой задачи нам нужно использовать комбинаторику и вероятность. Давайте пройдемся по шагам для решения этой задачи:

Шаг 1: Определяем количество способов выбрать 3 окрашенные детали из 10.
У нас есть 10 окрашенных деталей в ящике, и мы должны выбрать 3 из них. Мы можем использовать комбинацию, чтобы найти количество способов выбрать 3 из 10 окрашенных деталей. Обозначим это число как \(\binom{10}{3}\), где \(\binom{n}{r}\) - это комбинация из \(n\) элементов по \(r\).

Шаг 2: Определяем количество способов выбрать 3 детали из всех 15 деталей.
Мы можем использовать комбинацию, чтобы найти количество способов выбрать 3 детали из общего числа деталей в ящике, то есть 15. Обозначим это число как \(\binom{15}{3}\).

Шаг 3: Вычисляем вероятность.
Вероятность извлечения трех окрашенных деталей будет равна количеству способов выбрать 3 окрашенные детали (шаг 1) поделить на количество способов выбрать 3 детали из всех 15 (шаг 2). Это можно записать как:
\[P = \frac{\binom{10}{3}}{\binom{15}{3}}\]

Шаг 4: Вычисляем значения комбинаций.
Теперь мы должны вычислить значения комбинаций в числителе и знаменателе. Посчитаем каждое значение по формуле:
\(\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\),
где \(n!\) - это факториал числа \(n\).

Выполним вычисления:

\(\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1} = 120\).

\(\binom{15}{3} = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3!12!} = \frac{15\times 14\times 13}{3\times 2\times 1} = 455\).

Шаг 5: Подставляем значения в формулу вероятности.
Теперь мы можем вычислить вероятность извлечения трех окрашенных деталей, подставив значения из шагов 4 в формулу:
\[P = \frac{120}{455} = \frac{24}{91}\].

Итак, вероятность извлечения трех окрашенных деталей из ящика составляет \(\frac{24}{91}\) или примерно 0.2637 (округлено до четырех знаков после запятой).

Я надеюсь, что это пошаговое решение помогает вам понять, как получить вероятность извлечения трех окрашенных деталей из ящика. Если у вас возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!