Какова вероятность попадания в мишень для первого и второго стрелка? Какой закон распределения числа попаданий в мишень

Yarost

62

Для решения этой задачи мы должны знать вероятность попадания в мишень каждым из стрелков. Определим их вероятности попадания в мишень как \(p_1\) и \(p_2\) соответственно.

Пусть \(X\) - случайная величина, представляющая число попаданий в мишень. В данной задаче, \(X\) может принимать значения от 0 (нет попаданий) до 2 (оба стрелка попали в мишень).

Для определения закона распределения числа попаданий в мишень мы можем использовать биномиальное распределение, так как каждый стрелок может сделать только один выстрел. Формула для биномиального распределения:

\[P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\]

где \(n\) - количество независимых испытаний (выстрелов), \(k\) - количество успешных попаданий в мишень, \(p\) - вероятность попадания в мишень для одного выстрела.

В нашем случае, \(n=1\) для каждого стрелка, так как каждый из них делает только один выстрел.

Таким образом, вероятность попадания в мишень каждым из стрелков, \(p_1\) и \(p_2\), являются параметрами для биномиального распределения.

Математическое ожидание случайной величины \(X\) для биномиального распределения вычисляется следующим образом:

\[\mu = n \cdot p\]

где \(n\) - количество независимых испытаний (выстрелов), \(p\) - вероятность попадания в мишень для одного выстрела.

В нашем случае, \(n=1\) для каждого стрелка, поэтому математическое ожидание для каждого стрелка будет:

\[\mu_1 = 1 \cdot p_1\]
\[\mu_2 = 1 \cdot p_2\]

Дисперсия случайной величины \(X\) для биномиального распределения вычисляется следующим образом:

\[\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p)\]

где \(n\) - количество независимых испытаний (выстрелов), \(p\) - вероятность попадания в мишень для одного выстрела.

В нашем случае, \(n=1\) для каждого стрелка, поэтому дисперсия для каждого стрелка будет:

\[\sigma_1^2 = 1 \cdot p_1 \cdot (1-p_1)\]
\[\sigma_2^2 = 1 \cdot p_2 \cdot (1-p_2)\]

Функция распределения случайной величины \(X\) для биномиального распределения определяется с помощью суммирования вероятностей для каждого значения случайной величины от 0 до \(k\):

\[F(k) = P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}\]

В нашем случае, чтобы изобразить график этой функции, нужно знать конкретные значения \(p_1\) и \(p_2\).

Таким образом, для полного решения задачи, необходимо знать вероятность попадания в мишень каждым из стрелков (\(p_1\) и \(p_2\)) для дальнейшего вычисления математического ожидания, дисперсии и функции распределения случайной величины \(X\), а также для построения графика этой функции.