Какова вероятность того, что длина одной из трех частей, на которые разделился отрезок длиной 1, будет

Карамелька_4208

52

Для начала, давайте разоберемся с самой задачей. У нас есть отрезок длиной 1, который разделен на три части. Мы хотим вычислить вероятность того, что длина одной из этих частей будет больше/меньше/равна заданному значению.

Пусть данное значение, которое мы хотим сравнить с длиной одной из частей, будет обозначено как \(x\). Для удобства решения мы предположим, что отрезок был разделен на три точки случайным образом, то есть каждая точка может быть на любом месте на отрезке с равной вероятностью.

Теперь давайте посмотрим на вероятность того, что длина одной из частей будет больше \(x\). Рассмотрим несколько случаев:

1. Если \(x > \frac{1}{2}\): В этом случае вероятность того, что хотя бы одна из частей будет больше \(x\), равна 1. Поскольку длина каждой части будет меньше половины отрезка, то вероятность равна 1.

2. Если \(x = \frac{1}{2}\): В этом случае вероятность того, что хотя бы одна из частей будет больше \(x\), также равна 1. Поскольку отрезок делится на три равные части, то в одной из них длина будет точно равна \(x = \frac{1}{2}\).

3. Если \(0 < x < \frac{1}{2}\): В этом случае мы должны найти вероятность того, что длина одной из частей будет больше \(x\). Чтобы это сделать, давайте рассмотрим все возможные положения точек на отрезке. Последовательность этих точек может быть представлена в виде трех чисел, каждое из которых находится в интервале от 0 до 1, причем сумма этих чисел равна 1.

Представим три числа как \(a, b, c\), где \(0 \leq a,b,c \leq 1\) и \(a+b+c=1\). Для того чтобы одна из частей была больше \(x\), мы должны выполнить одно из следующих условий:

- \(a > x\), \(b < x\), \(c < x\);
- \(a < x\), \(b > x\), \(c < x\);
- \(a < x\), \(b < x\), \(c > x\).

Мы можем увидеть, что все три случая равнозначны и независимы, поэтому вероятность каждого из них составляет одну третью от общей вероятности. Таким образом, вероятность того, что длина одной из частей будет больше \(x\), будет равна \(\frac{1}{3}\).

Аналогично, мы можем рассмотреть вероятность того, что длина одной из частей будет меньше \(x\). В этом случае, чтобы длина одной из частей была меньше \(x\), мы должны выполнить одно из следующих условий:

- \(a < x\), \(b > x\), \(c > x\);
- \(a > x\), \(b < x\), \(c > x\);
- \(a > x\), \(b > x\), \(c < x\).

Также, как и в предыдущем случае, все три случая равнозначны и независимы, поэтому вероятность каждого из них составляет одну третью от общей вероятности. Таким образом, вероятность того, что длина одной из частей будет меньше \(x\), будет равна \(\frac{1}{3}\).

Наконец, вероятность того, что длина одной из частей будет равна \(x\), будет равна нулю. Ведь у нас деление точек на отрезке происходит непрерывно, и шанс того, что одна точка окажется точно на нужной позиции, равен нулю.

В итоге, если у нас задано значение \(x\), то вероятность того, что длина одной из трех частей будет больше/меньше/равна \(x\), составляет \(\frac{1}{3}\) для любого заданного \(x\), кроме случая, когда \(x = \frac{1}{2}\). В этом случае вероятность будет равна 1.