Какова вероятность того, что две из пяти случайно выбранных точек на отрезке АВ будут находиться на одинаковом

Ласточка

49

Хорошо, давайте решим эту задачу.

У нас есть отрезок АВ, и нам нужно найти вероятность того, что две из пяти случайно выбранных точек на этом отрезке будут находиться на одинаковом расстоянии от какой-то точки.

Давайте разобьем отрезок АВ на пять равных частей и обозначим эти точки как A1, A2, A3, A4 и A5.

Теперь давайте рассмотрим возможные комбинации точек, которые могут удовлетворять условию задачи.

1. Если две точки выбраны из одной и той же группы (например, A1 и A2), то они будут находиться на одинаковом расстоянии от каждой точки на отрезке АВ. Вероятность выбрать две точки из одной группы составляет \(C_2^5\), что можно вычислить следующим образом:

\[
C_2^5 = \frac{{5!}}{{2! \cdot (5-2)!}} = 10
\]

2. Если две точки выбраны из разных групп (например, A1 и A3), то только одна конкретная точка на отрезке АВ будет находиться на одинаковом расстоянии от них. Вероятность выбрать две точки из разных групп равна \(C_1^5\), что равно 5.

Таким образом, общая вероятность будет равна сумме вероятностей этих двух случаев:

\[
P = \frac{{C_2^5 + C_1^5}}{{C_5^2}}
\]

Где \(C_5^2\) равно количеству способов выбрать две точки из пяти и может быть вычислено следующим образом:

\[
C_5^2 = \frac{{5!}}{{2! \cdot (5-2)!}} = 10
\]

Подставляя значения в формулу, мы получаем:

\[
P = \frac{{10 + 5}}{{10}} = \frac{{15}}{{10}} = \frac{{3}}{{2}}
\]

Таким образом, вероятность того, что две из пяти случайно выбранных точек на отрезке АВ будут находиться на одинаковом расстоянии от какой-то точки, равна \(\frac{{3}}{{2}}\) или 1.5.

Я надеюсь, данный ответ и решение помогли вам понять данную задачу. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.