Какова вероятность того, что разница между средним размером вклада случайно выбранного вкладчика и средним размером

Sumasshedshiy_Reyndzher

28

Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать нормальное распределение, так как размеры вкладов являются непрерывными величинами и у нас большое количество вкладчиков.

Первым шагом нам нужно найти среднеквадратическое отклонение выборочного среднего. Для этого мы можем использовать формулу:

\[\sigma_{\overline{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]

где \(\sigma_{\overline{x}}\) - среднеквадратическое отклонение выборочного среднего, \(\sigma\) - среднее квадратическое отклонение популяции, \(n\) - размер выборки.

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[\sigma_{\overline{x}} = \frac{2500}{\sqrt{300}} \approx 144.34\]

Теперь мы можем использовать нормальное распределение, чтобы найти вероятность разницы не превысить 100 рублей. Для этого нам нужно найти площадь под кривой нормального распределения в интервале от минус 100 до плюс 100.

Используем стандартную нормальную таблицу или калькулятор для нахождения соответствующей площади под кривой. В данном случае нам нужно найти площадь под кривой между \(Z = -\frac{100}{144.34}\) и \(Z = \frac{100}{144.34}\).

Вычислив значения, получаем:

\(Z_1 = -0.692\)

\(Z_2 = 0.692\)

Находим площадь под кривой между \(Z_1\) и \(Z_2\) с использованием нормальной таблицы или калькулятора. Получаем:

\(P(Z < -0.692) = 0.2441\)

\(P(Z < 0.692) = 0.7559\)

Так как нам нужна площадь между \(Z_1\) и \(Z_2\), мы вычитаем \(P(Z < -0.692)\) из \(P(Z < 0.692)\):

\(P(-0.692 < Z < 0.692) = 0.7559 - 0.2441 = 0.5118\)

Таким образом, вероятность того, что разница между средним размером вклада случайно выбранного вкладчика и средним размером вклада по выборке не превысит 100 рублей, составляет примерно 0.5118 или 51.18%.