Какова вероятность того, что случайно выбранная точка, попавшая в большой круг радиуса R, также попадет в меньший круг

Плюшка

65

Для решения этой задачи нам потребуется знание геометрии и некоторых вероятностных понятий.

Итак, у нас есть два круга: большой круг радиуса R и меньший круг радиуса r (r < R). Мы хотим найти вероятность того, что случайно выбранная точка, попавшая в большой круг, также попадет и в меньший круг.

Для начала нам необходимо определить вероятность того, что случайная точка попадет в большой круг. Для этого мы можем использовать отношение площадей кругов.

Площадь большего круга равна \(\pi R^2\), а площадь меньшего круга равна \(\pi r^2\). Таким образом, вероятность того, что случайная точка попадет в большой круг, равна отношению площадей:

\[P(\text{{большой круг}}) = \frac{{\pi R^2}}{{\pi R^2}} = 1\]

Далее нам нужно найти вероятность того, что случайная точка попадет в меньший круг. По аналогии с предыдущим шагом, вероятность этого события будет равна:

\[P(\text{{малый круг}}) = \frac{{\pi r^2}}{{\pi R^2}}\]

Теперь, чтобы найти вероятность одновременного события - попадания точки в оба круга, мы должны перемножить эти вероятности:

\[P(\text{{оба круга}}) = P(\text{{большой круг}}) \times P(\text{{малый круг}})\]

Подставляя полученные выше значения, получаем:

\[P(\text{{оба круга}}) = 1 \times \frac{{\pi r^2}}{{\pi R^2}}\]

Упрощая это выражение, получаем:

\[P(\text{{оба круга}}) = \frac{{r^2}}{{R^2}}\]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка, попавшая в большой круг радиуса R, также попадет в меньший круг радиуса r, равна \(\frac{{r^2}}{{R^2}}\).

Это решение основано на предположении, что точка выбирается равномерно внутри большого круга и что вероятность попадания в любую его часть пропорциональна площади этой части.