Какова вероятность того, что все цифры в семизначном телефонном номере будут различными?

Pushistik

35

Чтобы найти вероятность того, что все цифры в семизначном телефонном номере будут различными, нам нужно разделить количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов.

1. Всего возможных исходов в данной задаче: максимальное количество семизначных телефонных номеров. Учитывая, что первая цифра не может быть нулем, у нас есть 9 вариантов для первой цифры (от 1 до 9), затем 10 вариантов для второй цифры (от 0 до 9, но мы исключаем уже использованную в первой цифре), 9 вариантов для третьей цифры (от 0 до 9, исключая уже использованные в первых двух цифрах), и так далее. Таким образом, общее количество возможных исходов будет равно \(9 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5\).

2. Теперь нам нужно найти количество благоприятных исходов, то есть количество семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различны. Поскольку мы хотим, чтобы все цифры были разные, мы можем выбрать любую из 9 цифр для первого места (от 1 до 9), 9 цифр для второго места (исключая выбранную в первом месте), 8 цифр для третьего места (исключая уже выбранные цифры), и так далее. Таким образом, количество благоприятных исходов будет равно \(9 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4\).

3. Теперь мы можем найти вероятность, разделив количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов:

\[
\text{{Вероятность}} = \frac{{\text{{Количество благоприятных исходов}}}}{{\text{{Общее количество возможных исходов}}}} = \frac{{9 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}}{{9 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}}.
\]

4. Мы можем сократить некоторые значения:

\[
\text{{Вероятность}} = \frac{{\cancel{9} \times \cancel{9} \times \cancel{8} \times \cancel{7} \times \cancel{6} \times \cancel{5} \times 4}}{{\cancel{9} \times 10 \times \cancel{9} \times \cancel{8} \times \cancel{7} \times \cancel{6} \times \cancel{5}}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}.
\]

Таким образом, вероятность того, что все цифры в семизначном телефонном номере будут различными, составляет \(\frac{2}{5}\) или 40%.