Какова вероятность того, что все полки будут заняты после расстановки 11 книг на 4 полки?

Olga

42

Хорошо, давайте рассмотрим данную задачу по порядку. У нас есть 4 полки, и мы должны расставить 11 книг на эти полки. Нам нужно найти вероятность того, что все полки будут заняты.

Для решения этой задачи, нам нужно использовать комбинаторику. В комбинаторике используется понятие перестановок и сочетаний.

Поскольку в данной задаче нас интересует только занятость полок, а не определенная последовательность книг на полках, мы будем использовать сочетания. Формула сочетания:
\[C(n, r) = \frac{{n!}}{{r!(n - r)!}}\]
где \(n\) - общее количество элементов (в нашем случае - книг), а \(r\) - количество элементов, которые мы выбираем (полки).

Теперь рассмотрим параметры нашей задачи: у нас есть 11 книг и 4 полки. Мы хотим найти количество способов разместить эти книги на полках так, чтобы все полки были заняты.

Мы можем начать с того, что выбираем 4 книги для первой полки, из 11 книг. Тогда остается 7 книг для выбора на вторую полку. Затем остается 3 книги для третьей полки, и для последней полки остается только 1 книга.

Применяя формулу сочетания к этим параметрам, мы можем найти количество способов разместить книги:
\[C(11, 4) = \frac{{11!}}{{4!(11 - 4)!}} = \frac{{11!}}{{4!7!}}\]

Теперь нам нужно найти общее количество способов разместить книги на полках, не обращая внимания на занятость полок. Это равно обычному количеству перестановок при заданном количестве элементов:
\[P(11) = 11!\]

Теперь мы можем найти вероятность того, что все полки будут заняты:
\[P = \frac{{C(11, 4)}}{{P(11)}} = \frac{{\frac{{11!}}{{4!7!}}}}{{11!}} = \frac{1}{35}\]

Таким образом, вероятность того, что все полки будут заняты после расстановки 11 книг на 4 полки, составляет \(\frac{1}{35}\).