Какова вероятность возникновения 9 случаев «сбоя» при 1000 вызовах, если вероятность «сбоя» при каждом вызове

Сладкий_Пират

8

Для решения этой задачи нам потребуется использовать биномиальное распределение. Биномиальное распределение применяется в случаях, когда у нас есть серия независимых испытаний (в данном случае вызовов), и мы хотим найти вероятность определенного числа успехов (сбоев) в этой серии испытаний.

Итак, в данной задаче у нас есть 1000 вызовов, и вероятность "сбоя" при каждом вызове составляет 0,007. Мы хотим найти вероятность возникновения 9 сбоев.

Формула для расчета вероятности биномиального распределения выглядит следующим образом:

\[P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где \(P(X=k)\) - вероятность получения k успешных исходов,
\(n\) - общее количество испытаний,
\(p\) - вероятность успешного исхода (в нашем случае вероятность "сбоя"),
\(\binom{n}{k}\) - число сочетаний из n по k (также называется биномиальным коэффициентом).

В нашем случае, мы хотим найти вероятность \(P(X=9)\) при \(n=1000\) и \(p=0,007\).
Подставляя значения в формулу, получаем:

\[P(X=9) = \binom{1000}{9} \cdot 0,007^9 \cdot (1-0,007)^{1000-9}\]

Теперь найдем числовые значения:

\(\binom{1000}{9}\) - это комбинация из 1000 по 9 и может быть найдена следующим образом:

\[\binom{1000}{9} = \frac{1000!}{9!(1000-9)!}\]

где \(n!\) - факториал числа n.

Теперь у нас есть все необходимые значения для подстановки в формулу биномиального распределения.

Давайте посчитаем все значения:

\(\binom{1000}{9} = \frac{1000!}{9!(1000-9)!} = 1,35573158 \times 10^{15}\)

Итак, подставим все значения в формулу:

\[P(X=9) = 1,35573158 \times 10^{15} \cdot (0,007)^9 \cdot (1-0,007)^{991}\]

Выполнив вычисления, мы найдем:

\[P(X=9) \approx 0,0254\]

Таким образом, вероятность возникновения 9 сбоев из 1000 вызовов при вероятности сбоя 0,007 составляет примерно 0,0254 или 2,54%.