Какова вероятность выбрать 4 стандартные детали из 6 взятых наудачу из партии, состоящей из 10 деталей, среди которых
Какова вероятность выбрать 4 стандартные детали из 6 взятых наудачу из партии, состоящей из 10 деталей, среди которых 7 стандартных?
Yastrebka_6335 14
Чтобы решить эту задачу о вероятности, нужно использовать сочетания. Давайте пошагово решим эту задачу.Шаг 1: Найдем общее количество способов выбрать 4 детали из 10. Для этого используем сочетания.
Формула для сочетаний выглядит следующим образом:
\[ C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}} \]
где \( n \) - общее количество элементов, а \( k \) - количество элементов, которые мы хотим выбрать.
В нашем случае, мы выбираем 4 детали из 10, поэтому \( n = 10 \) и \( k = 4 \).
Подставим значения в формулу:
\[ C(10, 4) = \frac{{10!}}{{4!(10-4)!}} \]
\[ C(10, 4) = \frac{{10!}}{{4!6!}} \]
Шаг 2: Найдем количество способов выбрать 4 стандартные детали из 7.
Аналогично, используем формулу сочетаний:
\[ C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}} \]
где \( n \) - общее количество стандартных деталей, а \( k \) - количество элементов, которые мы хотим выбрать.
В нашем случае, мы выбираем 4 детали из 7, поэтому \( n = 7 \) и \( k = 4 \).
Подставим значения в формулу:
\[ C(7, 4) = \frac{{7!}}{{4!(7-4)!}} \]
\[ C(7, 4) = \frac{{7!}}{{4!3!}} \]
Шаг 3: Теперь мы знаем количество способов выбрать 4 детали из 10 и количество способов выбрать 4 стандартные детали из 7.
Чтобы найти вероятность выбрать 4 стандартные детали из 6 из общей партии, мы должны разделить количество способов выбрать 4 стандартные детали из 7 на общее количество способов выбрать 4 детали из 10.
\[ P = \frac{{C(7, 4)}}{{C(10, 4)}} \]
\[ P = \frac{{\frac{{7!}}{{4!3!}}}}{{\frac{{10!}}{{4!6!}}}} \]
Simplify the expression inside the fraction:
\[ P = \frac{{\frac{{7!}}{{4!(7-4)!}}}}{{\frac{{10!}}{{4!(10-4)!}}}} \]
\[ P = \frac{{7! \cdot 4!(10-4)!}}{{4!3! \cdot 10!}} \]
Cancel out common terms in the numerator and denominator:
\[ P = \frac{{(7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4)! \cdot 6!}}{{4!3! \cdot 10!}} \]
\[ P = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4! \cdot 6!}}{{4!3! \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}} \]
\[ P = \frac{{7 \cdot 6}}{{10 \cdot 9 \cdot 8}} \]
Шаг 4: Вычислим итоговую вероятность.
\[ P = \frac{{42}}{{720}} \approx 0.0583 \]
Таким образом, вероятность выбрать 4 стандартные детали из 6 из общей партии составляет примерно 0.0583 или около 5.83%.