Какова высота цилиндра, у которого диагональ осевого сечения равна 20 см и образует угол в 30° с основанием цилиндра?

Алина_7841

28

Для решения данной задачи мы можем использовать геометрические свойства цилиндра. Для начала давайте изобразим сечение цилиндра:

\[
\begin{array}{c}
\\
\\
\\
\\
\end{array}
\]

На схеме отметим, что угол между диагональю и основанием цилиндра составляет 30°.

Обозначим высоту цилиндра как \(h\) и его радиус как \(r\). Так как диагональ осевого сечения равна 20 см, а угол между диагональю и основанием равен 30°, мы можем составить прямоугольный треугольник:

\[
\begin{array}{c}
\\
\\
\\
\\
\end{array}
\]

Угол, соответствующий диагонали, равен 90°, а угол между диагональю и основанием равен 30°. Так как сумма углов треугольника равна 180°, у нас есть все необходимые данные для нахождения высоты цилиндра.

Заметим, что треугольник является прямоугольным, поэтому используем соотношение между основанием и высотой прямоугольного треугольника:

\(\tan 30^\circ = \frac{{r}}{{h}}\)

Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. В нашем случае, противолежащим катетом является радиус \(r\), а прилежащим катетом - высота \(h\).

Заметим, что \(\tan 30^\circ = \frac{{1}}{{\sqrt{3}}}\). Подставим это значение в уравнение:

\(\frac{{1}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{r}}{{h}}\)

Чтобы найти высоту \(h\), перемножим обе части уравнения на \(h\):

\(\frac{{1}}{{\sqrt{3}}} \cdot h = r\)

Итак, высота \(h\) цилиндра равна:

\[h = r \cdot \sqrt{3}\]

Теперь нам нужно выразить радиус \(r\) через известные данные. Воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника, образованного радиусом \(r\), высотой \(h\) и диагональю 20 см:

\(r^2 + h^2 = 20^2\)

Подставим значение \(h = r \cdot \sqrt{3}\) в уравнение:

\(r^2 + (r \cdot \sqrt{3})^2 = 20^2\)

Упростим выражение:

\(r^2 + 3r^2 = 400\)

\(4r^2 = 400\)

Теперь найдем значение \(r\):

\(r^2 = \frac{{400}}{{4}}\)

\(r^2 = 100\)

\(r = \sqrt{100}\)

\(r = 10\)

Итак, радиус \(r\) равен 10 см. Теперь мы можем найти значение высоты \(h\):

\[h = r \cdot \sqrt{3} = 10 \cdot \sqrt{3} \approx 17.3 \, \text{см}\]

Таким образом, высота цилиндра составляет около 17.3 см.