Каково количество единиц в двоичной записи числа 4^2016-2^2018+8^800-80​?

Skvoz_Holmy

2

Для решения данной задачи, нам нужно вычислить значение выражения \(4^{2016}-2^{2018}+8^{800}-80\). Давайте разберемся пошагово:

1. Вначале, вычислим значение \(4^{2016}\). Для этого мы будем использовать свойство степени: \(4^{2016} = (2^2)^{2016} = 2^{4032}\).

2. Теперь рассмотрим значение \(2^{2018}\). Также используя свойство степени, получим: \(2^{2018} = 2^{2016+2} = 2^{2016} \cdot 2^2\).

3. Далее, посчитаем значение \(8^{800}\). Действуя по аналогии, понимаем, что это равносильно \((2^3)^{800} = 2^{2400}\).

4. И, наконец, рассчитаем значение \(80\).

Теперь, когда у нас есть все значения, мы можем подставить их в исходное выражение:

\[4^{2016}-2^{2018}+8^{800}-80\]
\[= 2^{4032} - (2^{2016} \cdot 2^2) + 2^{2400} - 80\]

Теперь объединим все слагаемые, учитывая, что \(2^{4032} = 2^{2016} \cdot 2^{2016}\):

\[= 2^{2016} \cdot 2^{2016} - (2^{2016} \cdot 2^2) + 2^{2400} - 80\]

Теперь, мы можем привести подобные слагаемые с одинаковыми показателями степеней:

\[= 2^{2016} \cdot (2^{2016} - 2^2) + 2^{2400} - 80\]

Таким образом, мы закончили с выражением. Теперь можем подсчитать его значение.

Теперь, давайте подсчитаем количество единиц в двоичной записи полученного числа. В двоичном представлении, каждая единица соответствует степени двойки.

Чтобы удалить из выражения двоичные представления чисел, в котором будут только нули, учтем, что \(2^0 = 1\), поэтому несмотря на отсутствие логической необходимости, эта часть у нас присутствует.

Посмотрим на каждое слагаемое по отдельности:

1. \(2^{2016}\) - в двоичной записи этого числа будет 2017 цифр: 1 (соответствующая единице) и 2016 нулей.
2. \(2^2\) - в двоичной записи этого числа будет 3 цифры: 100 (соответствующая 4) и нули перед ней.
3. \(2^{2400}\) - в двоичной записи этого числа будет 2401 цифр: 1 (соответствующая единице) и 2400 нулей.
4. Число 80 необходимо перевести в двоичную запись. Это будет 1000000.

Теперь, чтобы получить искомое значение, мы складываем двоичные записи всех слагаемых:

\(2017 + 3 + 2401 + 7 = 3428\)

Таким образом, в двоичной записи числа \(4^{2016}-2^{2018}+8^{800}-80\) количество единиц будет равно 3428.