Каково количество экземпляров учебника, которые были сброшюрованы неправильно, если издано 10000 экземпляров

Daniil

53

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать вероятностное распределение и посчитать количество экземпляров учебника, сброшюрованных неправильно.

Для начала, давайте разберемся с вероятностью ошибки. Вероятность ошибки составляет 0,0001, что означает, что каждый экземпляр может быть сброшюрован неправильно с вероятностью 0,0001.

Используем биномиальное распределение, чтобы определить количество экземпляров, которые могут быть сброшюрованы неправильно.

Формула для расчета вероятности ошибки в биномиальном распределении:

\[P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где:
- \(P(X = k)\) - вероятность того, что произойдет \(k\) ошибок
- \(n\) - общее количество экземпляров (10000 в данном случае)
- \(k\) - количество сброшюрованных неправильно экземпляров
- \(p\) - вероятность ошибки (0,0001 в данном случае)

Теперь мы можем подставить значения в формулу и рассчитать количество экземпляров, которые могут быть сброшюрованы неправильно.

\[P(X = k) = \binom{10000}{k} \cdot 0,0001^k \cdot (1-0,0001)^{10000-k}\]

Так как нам нужно рассчитать количество экземпляров, которые были сброшюрованы неправильно (не превышающее 10000), мы должны рассчитать вероятность для всех возможных значений \(k\) от 0 до 10000 и сложить их вместе.

Такое вычисление может занять много времени и ресурсов. Для более эффективного решения этой задачи, я могу использовать аппроксимацию нормальным распределением.

По аппроксимации нормальным распределением, математическое ожидание и стандартное отклонение биномиального распределения равны:

\[μ = n \cdot p\]
\[σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\]

Подставим значения и рассчитаем математическое ожидание и стандартное отклонение для данной задачи:

\[μ = 10000 \cdot 0,0001 = 1\]
\[σ = \sqrt{10000 \cdot 0,0001 \cdot (1-0,0001)} \approx 0,09998\]

Теперь мы можем использовать полученные значения математического ожидания и стандартного отклонения, чтобы рассчитать количество экземпляров, которые можно считать ошибочно сброшюрованными неправильно.

Воспользуемся правилом трех сигм. Правило трех сигм гласит, что около 68% всех значений лежит в пределах одного стандартного отклонения от математического ожидания, около 95% - в пределах двух стандартных отклонений, около 99,7% - в пределах трех стандартных отклонений.

Таким образом, для данной задачи мы можем ожидать, что около 68% экземпляров будет сброшюровано неправильно в пределах одного стандартного отклонения от математического ожидания (1 - 0,09998 = 0,90002), около 95% - в пределах двух стандартных отклонений (1 - 2 x 0,09998 = 0,80004), около 99,7% - в пределах трех стандартных отклонений (1 - 3 x 0,09998 = 0,70006).

Следовательно, мы можем ожидать, что приблизительно 9000 экземпляров будут сброшюрованы неправильно в пределах одного стандартного отклонения, приблизительно 8000 - в пределах двух стандартных отклонений, и приблизительно 7000 - в пределах трех стандартных отклонений.

Пожалуйста, учтите, что это только приближение, и фактическое количество экземпляров, сброшюрованных неправильно, может отличаться от этих значений.