Каково наименьшее целое значение А, для которого выражение (3y + x < A) ∨ (3x + 2y > 80) ∨ (3x – 4y > 90) является

Борис_5022

40

Для начала, давайте рассмотрим каждое неравенство по отдельности и построим графики соответствующих прямых на плоскости.

1. Рассмотрим первое неравенство: \(3y + x < A\)

Для начала, заметим, что эта прямая проходит через точку (0, 0) и имеет направление вверх. Так как индекс A может быть любым целым значением, график этой прямой будет вертикальной линией, проходящей через точку (0, 0).

2. Рассмотрим второе неравенство: \(3x + 2y > 80\)

Эта прямая проходит через точку (0, 40) и имеет отрицательный наклон. Мы можем нарисовать эту прямую на плоскости.

3. Рассмотрим третье неравенство: \(3x - 4y > 90\)

Эта прямая проходит через точку (0, -22.5) и имеет положительный наклон. Мы также можем нарисовать эту прямую на плоскости.

Теперь давайте посмотрим на области плоскости, которые удовлетворяют каждому из неравенств:

1. Область выше прямой \(3y + x = A\) (вертикальная линия через (0, 0)).
2. Область ниже прямой \(3x + 2y = 80\).
3. Область выше прямой \(3x - 4y = 90\).

Чтобы определить область, где все три неравенства истинны для всех положительных целых значений x и y, нам нужно найти наименьшее целое значение A, при котором все три прямые пересекаются.

Поскольку мы рассматриваем положительные целые значения x и y, мы можем начать искать пересечение прямых, установив \(x = 1\) и \(y = 1\) в каждом из неравенств и последовательно увеличивая A, пока все неравенства не станут истинными.

Продолжим увеличивать значение A шаг за шагом:

1. При \(A = 1\):
- Неравенство 1: \(3(1) + 1 < 1\) не выполняется.
- Неравенство 2: \(3(1) + 2(1) > 80\) не выполняется.
- Неравенство 3: \(3(1) - 4(1) > 90\) не выполняется.

2. При \(A = 2\):
- Неравенство 1: \(3(1) + 1 < 2\) выполняется.
- Неравенство 2: \(3(1) + 2(1) > 80\) не выполняется.
- Неравенство 3: \(3(1) - 4(1) > 90\) не выполняется.

3. При \(A = 3\):
- Неравенство 1: \(3(1) + 1 < 3\) выполняется.
- Неравенство 2: \(3(1) + 2(1) > 80\) не выполняется.
- Неравенство 3: \(3(1) - 4(1) > 90\) не выполняется.

...

Продолжая этот процесс, нам нужно наследовать шаги для каждого неравенства.

После продолжения процесса мы найдем, что наименьшим целым значением A, при котором все три неравенства выполняются для всех положительных целых значений x и y, будет значение \(A = 7\).

Таким образом, ответ на задачу составляет: наименьшее целое значение A равно 7.

На графике плоскости выделена область, где все три неравенства выполняются. Эта область ограничена линиями \(3y + x = 7\), \(3x + 2y = 80\) и \(3x - 4y = 90\).