Каково отношение радиусов орбит двух искусственных спутников Земли, у которых орбитальные периоды различаются в 8 раз?

Morzh_3742

15

Мы можем решить эту задачу, используя закон Кеплера, который гласит, что квадрат орбитального периода спутника пропорционален кубу большой полуоси орбиты. То есть мы можем записать следующее соотношение для двух спутников:

\[\dfrac{T_1^2}{T_2^2} = \dfrac{a_1^3}{a_2^3}\]

где \(T_1\) и \(T_2\) - орбитальные периоды спутников, а \(a_1\) и \(a_2\) - радиусы их орбит.

Мы знаем, что орбитальные периоды различаются в 8 раз, то есть \(T_2 = 8T_1\). Подставляя это значение в уравнение, мы получаем:

\[\dfrac{T_1^2}{(8T_1)^2} = \dfrac{a_1^3}{a_2^3}\]

Упрощая это уравнение, мы получаем:

\[\dfrac{1}{64} = \dfrac{a_1^3}{a_2^3}\]

Чтобы найти отношение радиусов орбит \(a_1\) и \(a_2\), нам нужно извлечь кубический корень из обеих сторон уравнения:

\[\sqrt[3]{\dfrac{1}{64}} = \dfrac{a_1}{a_2}\]

Вычислив этот корень, мы получаем:

\[\dfrac{1}{4} = \dfrac{a_1}{a_2}\]

Таким образом, отношение радиусов орбит двух спутников составляет \(\dfrac{1}{4}\). Это означает, что радиус второй орбиты вчетверо больше радиуса первой орбиты.