Каково расстояние между центрами двух однородных шаров массами m1 = 4 кг и m2 = 2 кг, если сила гравитационного

Izumrudnyy_Pegas

37

Для решения этой задачи нам понадобятся законы гравитационного взаимодействия, согласно которым сила гравитации между двумя телами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами. Это известно как закон всемирного тяготения, выражаемый формулой:

\[F = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

где F - сила гравитации между двумя телами, G - гравитационная постоянная (приближенное значение равно \(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2\)), \(m_1\) и \(m_2\) - массы тел, \(r\) - расстояние между их центрами.

Начнем с первой части задачи: нам даны массы двух шаров \(m_1 = 4\) кг и \(m_2 = 2\) кг, а также сила гравитационного взаимодействия \(F = l_1\). Мы хотим найти расстояние между центрами этих шаров \(r_1\).

Используем формулу гравитационной силы, чтобы выразить \(r_1\):

\[l_1 = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r_1^2}}\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(r_1\). Для начала, домножим обе стороны на \(r_1^2\):

\[l_1 \cdot r_1^2 = G \cdot m_1 \cdot m_2\]

Затем разделим обе стороны на \(l_1\):

\[r_1^2 = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{l_1}}\]

И, наконец, возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:

\[r_1 = \sqrt{\frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{l_1}}}\]

Теперь мы можем подставить значения переменных в эту формулу:

\[r_1 = \sqrt{\frac{{6.67430 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2 \cdot 4 \, \text{кг} \cdot 2 \, \text{кг}}}{{l_1}}}\]

После вычислений мы получаем значение расстояния \(r_1\) между центрами шаров.

Теперь перейдем ко второй части задачи. Здесь мы имеем массы другой пары шаров \(m_3 = 8\) кг и \(m_4 = 0.5\) кг, и сила гравитационного взаимодействия \(F_2 = 2 \cdot F_1\). Нам нужно найти расстояние \(l_2\) между центрами этих шаров.

Мы можем использовать аналогичные шаги для решения этой части задачи. Используя формулу для силы гравитации и замену переменных, мы получаем:

\[F_2 = G \cdot \frac{{m_3 \cdot m_4}}{{l_2^2}}\]

Мы хотим найти \(l_2\), так что перепишем уравнение:

\[l_2^2 = \frac{{G \cdot m_3 \cdot m_4}}{{F_2}}\]

И, снова, возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[l_2 = \sqrt{\frac{{G \cdot m_3 \cdot m_4}}{{F_2}}}\]

Подставляем значения переменных для этой задачи:

\[l_2 = \sqrt{\frac{{6.67430 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2 \cdot 8 \, \text{кг} \cdot 0.5 \, \text{кг}}}{{2 \cdot l_1}}}\]

Вычисляя это выражение, мы получаем значение расстояния \(l_2\) между центрами этих шаров.

Итак, вот как можно найти расстояния между центрами шаров в обоих задачах, используя законы гравитационного взаимодействия и данную информацию о массах и силах гравитации.