Каково скалярное произведение данных векторов при заданной длине ребра куба, равной

Лёха

4

Давайте рассмотрим задачу о скалярном произведении двух векторов в трехмерном пространстве, имеющих заданную длину ребра куба. Пусть вектора имеют координаты \( \textbf{a} = (a_1, a_2, a_3) \) и \( \textbf{b} = (b_1, b_2, b_3) \). Длина ребра куба задана формулой \( l \).

Скалярное произведение двух векторов определяется как сумма произведений их соответствующих координат. Математически это можно записать следующим образом:

\[ \textbf{a} \cdot \textbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 \]

В данной задаче нам также дана длина ребра куба \( l \). Обратите внимание, что длина ребра куба равна длине каждой из координат векторов. Мы можем записать это следующим образом:

\[ |a_1| = |a_2| = |a_3| = |b_1| = |b_2| = |b_3| = l \]

Теперь мы можем подставить значения в формулу скалярного произведения и вычислить его:

\[ \textbf{a} \cdot \textbf{b} = (l) \cdot (l) + (l) \cdot (l) + (l) \cdot (l) = 3l^2 \]

Таким образом, скалярное произведение данных векторов при заданной длине ребра куба, равной \( l \), равно \( 3l^2 \).