Каково смещение, скорость и ускорение материальной точки в момент времени t=0.5, если уравнение колебательного движения

Svetlyy_Angel

42

Для решения данной задачи, нам понадобится знание о колебательном движении и умение применять соответствующие формулы. У нас задано уравнение колебательного движения материальной точки:

\[ x = 0.2\cos(2\pi t) \]

Смещение (x) материальной точки в момент времени t=0.5 можно найти, подставив значение времени в данное уравнение:

\[ x(0.5) = 0.2\cos(2\pi \cdot 0.5) = 0.2\cos(\pi) = 0.2 \cdot (-1) = -0.2 \]

Таким образом, смещение материальной точки в момент времени t=0.5 равно -0.2.

Чтобы найти скорость (v) материальной точки в момент времени t=0.5, необходимо продифференцировать уравнение колебательного движения по времени:

\[ v = \frac{{dx}}{{dt}} \]

\[ v = \frac{{d(0.2\cos(2\pi t))}}{{dt}} \]

\[ v = -0.2 \cdot 2\pi \sin(2\pi t) \]

\[ v(0.5) = -0.2 \cdot 2\pi \sin(2\pi \cdot 0.5) = -0.2 \cdot 2\pi \sin(\pi) = 0 \]

Таким образом, скорость материальной точки в момент времени t=0.5 равна 0.

Для нахождения ускорения (a) материальной точки в момент времени t=0.5, нужно продифференцировать скорость по времени:

\[ a = \frac{{dv}}{{dt}} \]

\[ a = \frac{{d(-0.2 \cdot 2\pi \sin(2\pi t))}}{{dt}} \]

\[ a = -0.2 \cdot (2\pi)^2 \cos(2\pi t) \]

\[ a(0.5) = -0.2 \cdot (2\pi)^2 \cos(2\pi \cdot 0.5) = -0.2 \cdot (2\pi)^2 \cos(\pi) = -0.2 \cdot (2\pi)^2 \cdot (-1) = 4\pi^2 \]

Таким образом, ускорение материальной точки в момент времени t=0.5 равно \(4\pi^2\).

Итак, смещение материальной точки в момент времени t=0.5 равно -0.2, скорость равна 0, а ускорение равно \(4\pi^2\).