Каково соотношение сопротивлений r1 / r2 двух медных проводов одинаковой длины, если диаметр первого проводника вдвое

Rak_8958

55

Для решения этой задачи, нам нужно использовать формулу, связывающую сопротивление проводника с его сопротивляемостью и геометрическими параметрами. Формула имеет вид:

\[R = \rho \cdot \frac{L}{A}\]

где \(R\) - сопротивление проводника, \(\rho\) - удельное сопротивление материала проводника, \(L\) - его длина, а \(A\) - площадь поперечного сечения.

Предположим, что у нас есть два медных проводника, первый с диаметром \(d_1\) и второй с диаметром \(d_2\). Так как диаметр первого проводника вдвое меньше диаметра второго проводника, то можно сказать, что \(d_1 = \frac{d_2}{2}\).

Сначала рассмотрим первый проводник. Пусть его сопротивление будет \(R_1\), длина \(L\) будет одинакова для обоих проводников, поэтому длины можно не учитывать в нашем соотношении. Тогда площадь поперечного сечения первого проводника \(A_1\) будет равна:

\[A_1 = \pi \cdot \left(\frac{d_1}{2}\right)^2\]

Теперь рассмотрим второй проводник. Пусть его сопротивление будет \(R_2\). Площадь поперечного сечения второго проводника \(A_2\) будет равна:

\[A_2 = \pi \cdot \left(\frac{d_2}{2}\right)^2\]

Соотношение сопротивлений \(r_1 / r_2\) будет равно отношению сопротивлений обоих проводников:

\[\frac{r_1}{r_2} = \frac{R_1}{R_2}\]

Теперь подставим значения сопротивлений, используя формулу \(R = \rho \cdot \frac{L}{A}\) для обоих проводников:

\[\frac{r_1}{r_2} = \frac{\rho_1 \cdot \frac{L}{A_1}}{\rho_2 \cdot \frac{L}{A_2}}\]

Заметим, что длина и удельное сопротивление материала проводника одинаковы для обоих проводников, поэтому их можно сократить:

\[\frac{r_1}{r_2} = \frac{\frac{1}{A_1}}{\frac{1}{A_2}}\]

Подставим значения площадей поперечных сечений проводников:

\[\frac{r_1}{r_2} = \frac{\frac{1}{\pi \cdot \left(\frac{d_1}{2}\right)^2}}{\frac{1}{\pi \cdot \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}}\]

Упростим выражение, упрощая дробь:

\[\frac{r_1}{r_2} = \frac{\pi \cdot \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}{\pi \cdot \left(\frac{d_1}{2}\right)^2}\]

\[= \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 / \left(\frac{d_1}{2}\right)^2\]

Так как \(\frac{d_1}{2}\) и \(d_2\) являются числами, возьмём их квадраты:

\[\frac{r_1}{r_2} = \left(\frac{d_2}{2d_1}\right)^2\]

Теперь можем подставить значение \(d_1 = \frac{d_2}{2}\), которое мы получили из условия задачи:

\[\frac{r_1}{r_2} = \left(\frac{d_2}{2 \cdot \frac{d_2}{2}}\right)^2\]

\[= \left(\frac{d_2}{d_2}\right)^2\]

\[= 1^2\]

\[= 1\]

Таким образом, соотношение сопротивлений \(r_1 / r_2\) равно 1.