Каково среднее значение суммы импульсов электронов в проводнике, когда по нему протекает ток силой 10 А и длина

Valera

68

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для среднего значения импульса:

\[p = n \cdot \Delta p\]

где \(p\) - среднее значение импульса, \(n\) - количество электронов и \(\Delta p\) - изменение импульса для каждого электрона.

Известно, что ток через проводник определяется формулой:

\[I = n \cdot e \cdot v_d\]

где \(I\) - сила тока, \(e\) - заряд электрона, \(n\) - количество электронов в единице объема и \(v_d\) - скорость дрейфа электронов.

Мы можем выразить количество электронов через силу тока и заряд электрона:

\[n = \frac{I}{e \cdot v_d}\]

Из формулы для скорости дрейфа электронов:

\[v_d = \frac{I}{n \cdot e \cdot A}\]

где \(A\) - площадь поперечного сечения проводника.

Подставим это значение \(v_d\) в формулу для количества электронов:

\[n = \frac{I}{e \cdot \frac{I}{n \cdot e \cdot A}} = \frac{n \cdot e \cdot A}{e \cdot I}\]

Упростим выражение, сократив заряды электронов:

\[n = \frac{A}{I}\]

Теперь, зная, что длина проводника равна 1 м, мы можем выразить площадь поперечного сечения:

\[A = \frac{1}{l}\]

где \(l\) - длина проводника.

Подставим это значение \(A\) в формулу для количества электронов:

\[n = \frac{1}{I \cdot l}\]

Теперь, чтобы найти среднее значение импульса, нам нужно найти изменение импульса \(\Delta p\) для каждого электрона.

Из формулы для импульса:

\[p = \frac{m \cdot v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\]

где \(m\) - масса электрона, \(v\) - скорость электрона и \(c\) - скорость света.

Мы можем приблизить скорость света \(c\) к бесконечности по сравнению со скоростью дрейфа электронов (что допустимо для стационарного тока), и получим упрощенную формулу:

\[p \approx m \cdot v\]

Также известно, что скорость дрейфа связана с силой тока и количеством электронов:

\[v_d = \frac{I}{n \cdot e \cdot A}\]

Подставим это значение \(v_d\) в упрощенную формулу для импульса:

\[p = m \cdot \frac{I}{n \cdot e \cdot A}\]

Для каждого электрона изменение импульса \(\Delta p\) будет равно среднему значению импульса \(p\), поэтому:

\[\Delta p = p\]

Теперь мы можем выразить среднее значение импульса \(p\) через силу тока \(I\), длину проводника \(l\), заряд электрона \(e\) и массу электрона \(m\):

\[p = m \cdot \frac{I}{n \cdot e \cdot A} = m \cdot \frac{I}{\frac{1}{I \cdot l} \cdot e \cdot \frac{1}{l}} = m \cdot \frac{I^2 \cdot l^2}{e} = \frac{I^2 \cdot l^2 \cdot m}{e}\]

Теперь подставим известные значения:

\[p = \frac{(10 \, \text{A})^2 \cdot (1 \, \text{м})^2 \cdot (9,1 \cdot 10^{-31} \, \text{кг})}{1,6 \cdot 10^{-19} \, \text{Кл}}\]

Произведем вычисления:

\[p \approx 57,47 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}\]

Таким образом, среднее значение импульса электронов в проводнике, когда по нему протекает ток силой 10 А и длина проводника равна 1 м, составляет приблизительно 57,47 кг·м/c.