Каково уравнение окружности, если треугольник ABC определен в прямоугольной системе координат с вершинами в точках

Звонкий_Спасатель

4

Чтобы найти уравнение окружности, вначале мы должны определить ее центр и радиус.

1. Центр окружности:
Центр окружности можно найти, используя середины сторон треугольника ABC. Для этого найдем середины отрезков AB и AC.

Середина отрезка AB:
x-coordinate: \(\frac{(-4 + 0)}{2} = -2\)
y-coordinate: \(\frac{(-1 + 2)}{2} = \frac{1}{2}\)

Середина отрезка AC:
x-coordinate: \(\frac{(-4 + 4)}{2} = 0\)
y-coordinate: \(\frac{(-1 - 1)}{2} = -1\)

Таким образом, координаты центра окружности равны \((-2, \frac{1}{2})\).

2. Радиус окружности:
Радиус окружности равен расстоянию от центра до любой из вершин треугольника. Возьмем вершину A (-4, -1) для расчета.

Длина отрезка между центром и вершиной A:
\[r = \sqrt{(-2 - (-4))^2 + (\frac{1}{2} - (-1))^2}\]
\[r = \sqrt{(-2 + 4)^2 + (\frac{3}{2})^2}\]
\[r = \sqrt{2^2 + \frac{9}{4}}\]
\[r = \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{9}{4}}\]
\[r = \sqrt{\frac{13}{4}}\]
\[r = \frac{\sqrt{13}}{2}\]

Таким образом, радиус окружности равен \(\frac{\sqrt{13}}{2}\).

3. Уравнение окружности:
Итак, уравнение окружности имеет вид:
\((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\),

где (h, k) - координаты центра окружности, а r - радиус.

Подставим найденные значения:
\((x - (-2))^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = (\frac{\sqrt{13}}{2})^2\)
\((x + 2)^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{13}{4}\)

Таким образом, уравнение окружности для треугольника ABC в прямоугольной системе координат с вершинами в точках A (-4, -1), B (0, 2), C (4, -1) будет иметь вид:
\((x + 2)^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{13}{4}\)