Каково ускорение груза а1 и сила натяжения троса R21, если известны массы тел m1 = 50 кг, m2 = 60 кг, m3

Сладкий_Ангел

54

Для решения данной задачи о механике нам понадобятся законы динамики и формулы, связанные с вращательным движением. Давайте разобьем задачу на части и рассмотрим каждую из них по порядку.

1. Ускорение груза а1:
Для начала определим силы, действующие на груз а1. В данной задаче на груз действуют следующие силы:

- Сила тяжести \(F_1 = m_1 \cdot g\), где \(m_1\) - масса груза, \(g\) - ускорение свободного падения.
- Сила натяжения троса \(T_1\) (неизвестная).
- Сила трения, действующая на груз \(F_{T_1}\). В данной задаче будем пренебрегать этой силой, так как условие позволяет.

Второй закон Ньютона для груза а1 имеет вид:

\(\sum F_1 = m_1 \cdot a_1\).

Раскладываем силу \(T_1\) по осям:

\(\sum F_{1x} = T_1\cdot \cos(\alpha) = m_1 \cdot a_1\),
\(\sum F_{1y} = T_1\cdot \sin(\alpha) - m_1 \cdot g = 0\).

Решим систему уравнений:

\(T_1\cdot \cos(\alpha) = m_1 \cdot a_1\),
\(T_1\cdot \sin(\alpha) = m_1 \cdot g\).

Из второго уравнения выразим силу натяжения троса:

\(T_1 = \frac{{m_1 \cdot g}}{{\sin(\alpha)}}\).

Теперь найдем ускорение груза \(a_1\):

\(a_1 = \frac{{T_1}}{{m_1}} = \frac{{m_1 \cdot g}}{{m_1 \cdot \sin(\alpha)}} = \frac{{g}}{{\sin(\alpha)}}\).

Подставим известные значения и вычислим численный результат:

\(g = 9.8 \, \text{м/с}^2\) - ускорение свободного падения,
\(\alpha = 60^\circ\) - угол,
\(m_1 = 50 \, \text{кг}\) - масса груза.

\(a_1 = \frac{{9.8}}{{\sin(60^\circ)}} \approx 11.26 \, \text{м/с}^2\).

Таким образом, ускорение груза \(a_1\) составляет примерно \(11.26 \, \text{м/с}^2\).

2. Сила натяжения троса R21:
Трос натянут между грузами а2 и а1, поэтому мы можем записать уравнение равновесия для системы, состоящей из этих двух грузов:

\(\sum F = m_2 \cdot a_2 - m_1 \cdot a_1\).

Раскладываем силы \(T_2\) и \(T_1\) по осям:

\(\sum F_x = T_1 - T_2 \cdot \cos(\beta) = m_2 \cdot a_2\),
\(\sum F_y = -m_2 \cdot g + T_2 \cdot \sin(\beta) - T_1 = 0\).

Решим систему уравнений:

\(T_1 - T_2 \cdot \cos(\beta) = m_2 \cdot a_2\),
\(-m_2 \cdot g + T_2 \cdot \sin(\beta) - T_1 = 0\).

Выразим силу натяжения троса \(T_2\) через \(T_1\):

\(T_2 = \frac{{T_1}}{{\cos(\beta)}} + \frac{{m_2 \cdot a_2}}{{\cos(\beta)}}\).

Заменим \(T_1\) на выражение из первой части задачи:

\(T_2 = \frac{{m_1 \cdot g}}{{\sin(\alpha) \cdot \cos(\beta)}} + \frac{{m_2 \cdot a_2}}{{\cos(\beta)}}\).

Известно, что масса груза а2 равна \(m_2 = 60 \, \text{кг}\). Также нам дан радиус инерции блока 2 относительно оси вращения \(\rho_2 = 15 \, \text{см}\).

Для нахождения ускорения \(a_2\) мы воспользуемся вторым законом Ньютона для вращательного движения:

\(R_{21} \cdot r_2 - f \cdot R_{21} = I_2 \cdot \alpha_2\),
где \(R_{21}\) - момент силы натяжения троса на блоке 2,
\(r_2\) - радиус, к которому приложена сила натяжения \(R_{21}\),
\(f\) - сила трения, действующая на блок 2 по отношению к поверхности,
\(I_2\) - момент инерции блока 2 относительно его оси вращения,
\(\alpha_2\) - угловое ускорение блока 2.

Учтем также, что момент силы \(R_{21}\) связан с ускорением линейного движения блока 2 следующим образом:

\(R_{21} \cdot r_2 = m_2 \cdot a_2 \cdot r_2\).

Подставим полученные выражения в уравнение для вращательного движения:

\(m_2 \cdot a_2 \cdot r_2 - f \cdot m_2 \cdot a_2 \cdot r_2 = I_2 \cdot \alpha_2\),
\(m_2 \cdot a_2 \cdot r_2 (1 - f) = I_2 \cdot \alpha_2\),
\(a_2 = \frac{{I_2 \cdot \alpha_2}}{{m_2 \cdot r_2 \cdot (1 - f)}}\).

Подставим известные значения:

\(r_2 = 10 \, \text{см}\) - радиус блока 2,
\(f = 0.3\) - коэффициент трения скольжения,
\(I_2 = \frac{{m_2 \cdot r_2^2}}{{2}}\) - момент инерции по теореме Гюйгенса-Штейнера.

\(a_2 = \frac{{\frac{{m_2 \cdot r_2^2}}{{2}} \cdot \alpha_2}}{{m_2 \cdot r_2 \cdot (1 - f)}}\).

Так как угол очень маленький (\(\beta = 60^\circ\)), можно считать \(\alpha_2\) малым и сравнимым с углом \(\beta\). Поэтому угловое ускорение блока 2 можно выразить через линейное ускорение \(a_2\) и радиусы блока 2 и троса:

\(\alpha_2 = \frac{{a_2}}{{r_2 - R_2}}\).

Подставим это выражение обратно в уравнение для ускорения \(a_2\):

\(a_2 = \frac{{\frac{{m_2 \cdot r_2^2}}{{2}} \cdot \frac{{a_2}}{{r_2 - R_2}}}}{{m_2 \cdot r_2 \cdot (1 - f)}}\).

Упростим выражение, сократив \(m_2\), \(r_2\) и \(a_2\):

\(1 - f = \frac{{r_2 - R_2}}{{2 \cdot (r_2 - R_2)}}\).

Обращаем внимание, что в знаменателе мы имеем \(2 \cdot (r_2 - R_2)\), что значит, что радиус блока 2 должен быть меньше радиуса R2, иначе у нас не получится сделать деление на ноль.

Предполагая, что условие выполняется, мы можем решить полученное уравнение:

\(1 - f = \frac{{r_2 - R_2}}{{2 \cdot (r_2 - R_2)}}\),
\(2 \cdot (r_2 - R_2)(1 - f) = r_2 - R_2\),
\(2 \cdot r_2 - 2 \cdot R_2 - 2 \cdot f \cdot r_2 + 2 \cdot f \cdot R_2 = r_2 - R_2\),
\(r_2 + f \cdot r_2 = R_2 - f \cdot R_2\),
\(r_2(1 + f) = R_2(1 - f)\),
\(a_2 = \frac{{r_2}}{{R_2}} \cdot \frac{{1 - f}}{{1 + f}}\).

Подставим известные значения и вычислим численный результат:

\(r_2 = 10 \, \text{см}\) - радиус блока 2,
\(R_2 = 18 \, \text{см}\) - радиус троса,
\(f = 0.3\) - коэффициент трения скольжения.

\(a_2 = \frac{{10}}{{18}} \cdot \frac{{1 - 0.3}}{{1 + 0.3}} \approx 0.318 \, \text{м/с}^2\).

Таким образом, ускорение груза а2 составляет примерно \(0.318 \, \text{м/с}^2\).

Теперь, когда у нас есть значение \(a_1\) и \(a_2\), мы можем вычислить силу натяжения троса R21, подставив известные значения в уравнение:

\(T_2 = \frac{{m_1 \cdot g}}{{\sin(\alpha) \cdot \cos(\beta)}} + \frac{{m_2 \cdot a_2}}{{\cos(\beta)}}\).

Подставим известные значения и вычислим численный результат:

\(m_1 = 50 \, \text{кг}\) - масса груза а1,
\(m_2 = 60 \, \text{кг}\) - масса груза а2,
\(g = 9.8 \, \text{м/с}^2\) - ускорение свободного падения,
\(\alpha = 60^\circ\),
\(\beta = 60^\circ\).

\(T_2 = \frac{{50 \cdot 9.8}}{{\sin(60^\circ) \cdot \cos(60^\circ)}} + \frac{{60 \cdot 0.318}}{{\cos(60^\circ)}} \approx 843.34 \, \text{Н}\).

Таким образом, сила натяжения троса R21 составляет примерно \(843.34 \, \text{Н}\).