Каково выражение вектора МК через векторы ДА=a и ДС=b в параллелограмме АВСD, где точки M и K на сторонах AB

Morskoy_Iskatel_1991

37

Чтобы найти выражение вектора МК через векторы ДА и ДС, нам нужно воспользоваться свойствами параллелограмма.

В данной задаче у нас есть параллелограмм ABCD, где точки M и K находятся на сторонах AB и BC соответственно. Нам также дано, что отношение AM к MB равно 3:4, а отношение BK к KC равно 2:3.

Давайте представим векторы DA, DK и DM как комбинации векторов a и b:

\[\overrightarrow{DA} = 3\overrightarrow{AM} + 4\overrightarrow{MB}\]
\[\overrightarrow{DK} = 2\overrightarrow{BK} + 3\overrightarrow{KC}\]
\[\overrightarrow{DM} = x\overrightarrow{DA} + y\overrightarrow{DK}\]

Где x и y - коэффициенты, которые мы должны найти.

Теперь давайте заменим векторы DA и DK в выражении для вектора DM:

\[\overrightarrow{DM} = x(3\overrightarrow{AM} + 4\overrightarrow{MB}) + y(2\overrightarrow{BK} + 3\overrightarrow{KC})\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[\overrightarrow{DM} = (3x)\overrightarrow{AM} + (4x)\overrightarrow{MB} + (2y)\overrightarrow{BK} + (3y)\overrightarrow{KC}\]

Теперь посмотрим на параллелограмм ABCD. В нем противоположные стороны равны по модулю и направлению. Исходя из этого, получим:

\[\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{KC} - \overrightarrow{KB}\]

Заменим векторы DA и KC в этом равенстве на выражения через векторы AM, MB и BK:

\[3\overrightarrow{AM} + 4\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{KC} - \overrightarrow{KB}\]

Теперь можем выразить вектор KC через векторы AM, MB и BK:

\[\overrightarrow{KC} = 3\overrightarrow{AM} + 4\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{KB}\]

Подставим это выражение для вектора KC в выражение для вектора DM:

\[\overrightarrow{DM} = (3x)\overrightarrow{AM} + (4x)\overrightarrow{MB} + (2y)\overrightarrow{BK} + (3y)(3\overrightarrow{AM} + 4\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{KB})\]

Объединим подобные слагаемые:

\[\overrightarrow{DM} = (3x + 9y)\overrightarrow{AM} + (4x + 12y)\overrightarrow{MB} + (2y + 3y)\overrightarrow{BK} + 3y\overrightarrow{KB}\]

Теперь у нас есть выражение для вектора DM через векторы AM, MB и BK:

\[\overrightarrow{DM} = (3x + 9y)\overrightarrow{AM} + (4x + 12y)\overrightarrow{MB} + (5y)\overrightarrow{BK} + 3y\overrightarrow{KB}\]

Таким образом, выражение вектора МК через векторы ДА и ДС в параллелограмме АВСD будет:

\[\overrightarrow{MK} = (3x + 9y)\overrightarrow{AM} + (4x + 12y)\overrightarrow{MB} + (5y)\overrightarrow{BK} + 3y\overrightarrow{KB}\]

Где x и y - коэффициенты, которые мы должны найти.