Каково значение tg(π+t), если sin(4π+t)=15/17?

Черепаха

28

Для решения этой задачи, давайте сначала вспомним некоторые свойства тригонометрических функций.

Формула тангенса гласит:
\[\tan(x) = \frac{{\sin(x)}}{{\cos(x)}}\]

Мы знаем, что:
\[\sin(4\pi+t) = \frac{{15}}{{17}}\]

Теперь, чтобы выразить \(\tan(\pi+t)\) используя данную информацию, мы можем воспользоваться формулой суммы углов для синуса:
\[\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)\]

Здесь, \(\alpha = \pi\), а \(\beta = 4\pi + t\). Таким образом, мы получаем:
\[\sin(\pi + 4\pi + t) = \sin(\pi)\cos(4\pi + t) + \cos(\pi)\sin(4\pi + t)\]
\[-\sin(t) = 0 - \sin(t)\]

Из этого следует, что \(-\sin(t) = \frac{{15}}{{17}}\).

Используя формулу тангенса, мы можем найти значение \(\tan(\pi + t)\):
\[\tan(\pi + t) = \frac{{\sin(\pi + t)}}{{\cos(\pi + t)}}\]

Так как мы уже знаем, что \(-\sin(t) = \frac{{15}}{{17}}\), мы можем записать:
\[\tan(\pi + t) = \frac{{-\sin(t)}}{{\cos(\pi + t)}} = \frac{{-\frac{{15}}{{17}}}}{{\cos(\pi + t)}}\]

Теперь, чтобы найти \(\cos(\pi + t)\), мы воспользуемся формулой суммы углов для косинуса:
\[\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)\]

Где \(\alpha = \pi\), а \(\beta = t\). Заметим, что \(\cos(\pi) = -1\) и \(\sin(\pi) = 0\). Таким образом, мы имеем:
\[\cos(\pi + t) = \cos(\pi)\cos(t) - \sin(\pi)\sin(t) = -\cos(t)\]

Теперь мы можем выразить значение \(\tan(\pi + t)\) как:
\[\tan(\pi + t) = \frac{{-\frac{{15}}{{17}}}}{{-\cos(t)}} = \frac{{15}}{{17\cos(t)}}\]

Таким образом, значение \(\tan(\pi + t)\) равно \(\frac{{15}}{{17\cos(t)}}\).

Это дает нам полное решение задачи, учитывая значение \(\sin(4\pi + t)\), которое было дано.

Пожалуйста, если у вас возникли дополнительные вопросы или что-то не понятно, не стесняйтесь задавать! Я готов помочь!