Каковы функции затрат в данном периоде, если функция Кобба-Дугласа имеет вид q = 2k1/2l1/2, а цены факторов

Скрытый_Тигр

5

Чтобы определить функции затрат в данном периоде с использованием функции Кобба-Дугласа и заданными ценами факторов производства, давайте найдем расходы на труд (L) и расходы на капитал (K).

Функция Кобба-Дугласа имеет вид:
$$q=K^{0.5}\cdot L^{0.5}$$

Цена фактора производства труда (pl) равна 2, а цена фактора производства капитала (pk) также равна 2.

Расходы на труд (L) можно найти, изолируя переменную L в функции Кобба-Дугласа:
$$L={\left(\frac{q}{K^{0.5}}\right)}^2$$

Подставим значение pk = 2 и преобразуем еще немного выражение:
$$L={\left(\frac{q}{K^{0.5}}\right)}^2={\left(\frac{2K^{0.5}{L}^{0.5}}{K^{0.5}}\right)}^2=4L^{0.5}$$

Теперь выразим L:
$$L^2=\frac{L}{4}\Rightarrow L^2-\frac{L}{4}=0\Rightarrow L(L-\frac{1}{4})=0$$

Уравнение L(L - 1/4) = 0 имеет два корня: L = 0 и L = 1/4.

Поскольку нам интересует положительная величина затрат на труд, примем L = 1/4.

Теперь найдем расходы на капитал (K) по формуле:
$$K={\left(\frac{q}{L^{0.5}}\right)}^2$$

Подставим значения pl = 2 и L = 1/4:
$$K={\left(\frac{2K^{0.5}{\left(\frac{1}{4}\right)}^{0.5}}{{\left(\frac{1}{4}\right)}^{0.5}}\right)}^2={\left(\frac{1}{2}{K}^{0.5}\right)}^2=\frac{1}{4}K$$

Теперь у нас есть значения затрат на труд (L = 1/4) и затрат на капитал (K = 1/4).

Таким образом, функции затрат в данном периоде для функции Кобба-Дугласа равны:
Затраты на труд: L = 1/4
Затраты на капитал: K = 1/4