Каковы функции затрат в данном периоде, если функция Кобба-Дугласа имеет вид q = 2k1/2l1/2, а цены факторов

Скрытый_Тигр

5

Чтобы определить функции затрат в данном периоде с использованием функции Кобба-Дугласа и заданными ценами факторов производства, давайте найдем расходы на труд (L) и расходы на капитал (K).

Функция Кобба-Дугласа имеет вид:
\[ q = K^{0.5} \cdot L^{0.5} \]

Цена фактора производства труда (pl) равна 2, а цена фактора производства капитала (pk) также равна 2.

Расходы на труд (L) можно найти, изолируя переменную L в функции Кобба-Дугласа:
\[ L = \left( \frac{q}{K^{0.5}} \right)^2 \]

Подставим значение pk = 2 и преобразуем еще немного выражение:
\[ L = \left( \frac{q}{K^{0.5}} \right)^2 = \left( \frac{2K^{0.5}L^{0.5}}{K^{0.5}} \right)^2 = 4L^{0.5} \]

Теперь выразим L:
\[ L^2 = \frac{L}{4} \Rightarrow L^2 - \frac{L}{4} = 0 \Rightarrow L \left( L - \frac{1}{4} \right) = 0 \]

Уравнение L(L - 1/4) = 0 имеет два корня: L = 0 и L = 1/4.

Поскольку нам интересует положительная величина затрат на труд, примем L = 1/4.

Теперь найдем расходы на капитал (K) по формуле:
\[ K = \left( \frac{q}{L^{0.5}} \right)^2 \]

Подставим значения pl = 2 и L = 1/4:
\[ K = \left( \frac{2K^{0.5}\left(\frac{1}{4}\right)^{0.5}}{\left(\frac{1}{4}\right)^{0.5}} \right)^2 = \left( \frac{1}{2}K^{0.5} \right)^2 = \frac{1}{4}K \]

Теперь у нас есть значения затрат на труд (L = 1/4) и затрат на капитал (K = 1/4).

Таким образом, функции затрат в данном периоде для функции Кобба-Дугласа равны:
Затраты на труд: L = 1/4
Затраты на капитал: K = 1/4