Каковы массы воды и соли, требуемые для создания 1 литра раствора с определенной массовой долей соли?

Margarita

47

Для решения данной задачи нам необходимо знать массовую долю соли, которую мы хотим получить в 1 литре раствора, а также плотность воды и соли.

Давайте предположим, что мы хотим получить раствор с массовой долей соли \(w\) (в процентах). Для начала, преобразуем массовую долю соли в десятичную дробь, разделив ее на 100: \(w = \frac{w}{100}\).

Подсчитаем массу соли, которая необходима для приготовления 1 литра раствора. Массовую долю соли в растворе можно определить как отношение массы соли к общей массе раствора.

Обозначим массу соли, которую нам необходимо найти как \(m_{\text{соли}}\) и массу воды как \(m_{\text{воды}}\).

Тогда массовую долю соли мы можем выразить следующим образом:
\[w = \frac{m_{\text{соли}}}{m_{\text{соли}} + m_{\text{воды}}}\]

Теперь, зная, что объем раствора равен 1 литру, мы можем найти массу воды, используя плотность воды. Плотность воды обычно принимается равной 1 г/мл, то есть 1000 г/л (в предположении, что раствор является водным).

Таким образом, массу воды можно выразить следующим образом: \(m_{\text{воды}} = 1000\) г.

Теперь мы можем решить уравнение, чтобы найти массу соли:

\[w = \frac{m_{\text{соли}}}{m_{\text{соли}} + 1000}\]

Умножая обе стороны уравнения на \((m_{\text{соли}} + 1000)\), получаем:

\[w \cdot (m_{\text{соли}} + 1000) = m_{\text{соли}}\]

Раскроем скобки:

\[w \cdot m_{\text{соли}} + 1000w = m_{\text{соли}}\]

Перенесем все члены с \(m_{\text{соли}}\) влево:

\[w \cdot m_{\text{соли}} - m_{\text{соли}} = -1000w\]

Факторизуем \(m_{\text{соли}}\):

\[(w - 1) \cdot m_{\text{соли}} = -1000w\]

Теперь найдем \(m_{\text{соли}}\):

\[m_{\text{соли}} = \frac{-1000w}{w - 1}\]

Таким образом, масса соли, необходимая для приготовления 1 литра раствора с массовой долей соли \(w\), равна \(\frac{-1000w}{w - 1}\) г.

Массу воды, как мы уже упомянули, равна 1000 г (1 литру).

Важно отметить, что знак минус в формуле для массы соли возникает из-за того, что массовая доля соли всегда меньше 1, поэтому числитель будет отрицательным для всех разумных значений \(w\).

Однако, если \(w\) превышает 1, это означает, что соли больше, чем вода в растворе, и задача некорректна.