Каковы напряжение и длина стальной проволоки диаметром d=2мм, подвергающейся осевой нагрузке f=300h, если её удлинение

Викторовна

37

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится применить закон Гука, который связывает напряжение, длину проволоки, удлинение и модуль упругости.

Закон Гука может быть представлен следующим образом:

\[ \Delta L = \frac{{F \cdot L}}{{A \cdot E}} \]

Где:
\(\Delta L\) - удлинение проволоки,
\(F\) - осевая нагрузка (сила),
\(L\) - длина проволоки,
\(A\) - площадь поперечного сечения проволоки (в нашем случае это круг),
\(E\) - модуль упругости (для стали это примерно 200 ГПа).

По заданию, у нас уже известны следующие значения:
\(d = 2 \, \text{мм}\) - диаметр проволоки,
\(f = 300 \, \text{H}\) - осевая нагрузка,
\(\Delta L = 0.5 \, \text{мм}\) - удлинение проволоки.

Для начала, найдем площадь поперечного сечения проволоки:

\[ A = \pi \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2 \]

Подставим значение диаметра проволоки:

\[ A = \pi \cdot \left(\frac{0.002 \, \text{м}}{2}\right)^2 \]

Выполним вычисления:

\[ A = \pi \cdot \left(0.001 \, \text{м}\right)^2 \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ A = \pi \cdot 0.000001 \, \text{м}^2 \]

Теперь можем перейти к решению уравнения Гука, чтобы найти длину проволоки:

\[ \Delta L = \frac{{F \cdot L}}{{A \cdot E}} \]

Мы знаем, что \( \Delta L = 0.5 \, \text{мм} \), \( F = 300 \, \text{H} \) и \( E = 200 \times 10^9 \, \text{Па} \).

Подставим все значения:

\[ 0.5 \times 10^{-3} \, \text{м} = \frac{{300 \, \text{H} \cdot L}}{{\pi \cdot 0.000001 \, \text{м}^2 \cdot 200 \times 10^9 \, \text{Па}}} \]

Чтобы найти длину проволоки, преобразуем уравнение:

\[ L = \frac{{\delta L \cdot A \cdot E}}{{F}} \]

Подставим численные значения:

\[ L = \frac{{0.5 \times 10^{-3} \, \text{м} \cdot \pi \cdot 0.000001 \, \text{м}^2 \cdot 200 \times 10^9 \, \text{Па}}}{{300 \, \text{H}}} \]

Выполним вычисления:

\[ L = \frac{{0.5 \times 10^{-3} \cdot 200 \times 10^9 \times \pi \times 0.000001}}{{300}} \]

\[ L \approx 0.0033 \, \text{м} \]

Таким образом, напряжение в проволоке составляет примерно 0.0033 м, а ее длина равна примерно 0,0033 метра.