Каковы скорость и скорость за первые 10 с движения точки, перемещающейся вдоль оси Х с заданной зависимостью координаты

Yarilo

14

Чтобы найти скорость и скорость за первые 10 секунд движения точки, мы можем воспользоваться данных задачи. Заданная зависимость координаты от времени \(x = 6t - 0.125t^2\) позволяет нам определить положение точки в любой момент времени.

Для начала, давайте найдем производную этой функции по времени, чтобы найти скорость точки в произвольный момент времени \(t\). Для этого применим правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования произведения.

\[v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d(6t - 0.125t^2)}{dt} = \frac{d(6t)}{dt} - \frac{d(0.125t^2)}{dt}\]

\[v(t) = 6 - 0.25t\]

Теперь нам нужно найти значение скорости в момент времени \(t = 2\) секунды. Подставим \(t = 2\) в выражение для скорости:

\[v(2) = 6 - 0.25 \cdot 2 = 6 - 0.5 = 5.5 \, \text{м/с}\]

Таким образом, скорость точки в момент времени \(t = 2\) секунды составляет 5.5 м/с.

Чтобы найти скорость за первые 10 секунд, нам нужно знать изменение положения точки за этот период времени. Мы можем использовать заданное уравнение \(x = 6t - 0.125t^2\) и подставить \(t = 10\):

\[x(10) = 6 \cdot 10 - 0.125 \cdot 10^2\]

\[x(10) = 60 - 0.125 \cdot 100 = 60 - 12.5 = 47.5 \, \text{м}\]

Теперь у нас есть начальное положение точки (\(x = 0\) м) и конечное положение точки (\(x = 47.5\) м) за первые 10 секунд. Чтобы найти скорость за этот период времени, мы используем формулу для средней скорости:

\[v_{ср} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_{конечное} - x_{начальное}}{t_{конечное} - t_{начальное}}\]

\[v_{ср} = \frac{47.5 - 0}{10 - 0} = \frac{47.5}{10} = 4.75 \, \text{м/с}\]

Таким образом, скорость за первые 10 секунд движения точки составляет 4.75 м/с.