Каковы скорости двух велосипедистов, если один из них проехал трассу на 20 минут быстрее, чем другой, при этом первый

Звездопад_Волшебник

1

Для решения этой задачи мы можем использовать систему уравнений. Предположим, что скорость второго велосипедиста равна \(x\) км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста будет \(x + 2\) км/ч, так как он ехал на 2 км/ч быстрее.

Давайте найдем время, за которое каждый из велосипедистов проехал трассу. Если первый велосипедист проехал трассу за \(t\) часов, то второй велосипедист проехал ту же трассу за \(t + \frac{20}{60}\) часов. Мы используем \(\frac{20}{60}\) потому что 20 минут это \(\frac{20}{60}\) часов.

Теперь мы можем составить систему уравнений:

\[
\begin{align*}
\text{Скорость первого велосипедиста: } & x + 2 \text{ км/ч} \\
\text{Скорость второго велосипедиста: } & x \text{ км/ч} \\
\text{Время первого велосипедиста: } & t \text{ часов} \\
\text{Время второго велосипедиста: } & t + \frac{20}{60} \text{ часов}
\end{align*}
\]

Теперь решим систему уравнений. Для этого мы можем использовать первое уравнение и подставлять его значения во второе уравнение. Подставим \(x + 2\) вместо \(x\) во второе уравнение:

\[
t + \frac{20}{60} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} = \frac{\text{расстояние}}{x} \Rightarrow t + \frac{20}{60} = \frac{\text{расстояние}}{x}
\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[
\begin{align*}
t + \frac{20}{60} &= \frac{\text{расстояние}}{x} \\
t &= \frac{\text{расстояние}}{x + 2}
\end{align*}
\]

Поскольку оба велосипедиста проехали одну и ту же трассу, расстояния, которые они проехали, равны. Мы обозначим это расстояние как \(d\). Теперь мы можем переписать уравнения с использованием \(d\):

\[
\begin{align*}
t + \frac{20}{60} &= \frac{d}{x} \\
t &= \frac{d}{x + 2}
\end{align*}
\]

Подставим второе уравнение в первое и решим полученное уравнение:

\[
\begin{align*}
\frac{d}{x + 2} + \frac{20}{60} &= \frac{d}{x} \\
\frac{d}{x + 2} + \frac{1}{3} &= \frac{d}{x}
\end{align*}
\]

Для удобства избавимся от дробей, перемножив все части уравнения на \(3x(x + 2)\):

\[
d \cdot 3x + d \cdot 3(x + 2) = d \cdot (x + 2) \cdot x
\]

Раскроем скобки:

\[
3dx + 3d(x + 2) = dx^2 + 2dx
\]

Распределим:

\[
3dx + 3dx + 6d = dx^2 + 2dx
\]

Сократим слагаемые:

\[
6dx + 6d = dx^2 + 2dx
\]

Перенесем всё влево:

\[
dx^2 - 4dx - 6dx - 6d = 0
\]

Сгруппируем слагаемые:

\[
dx^2 - 10dx - 6d = 0
\]

Наше уравнение стало квадратным. Теперь мы можем применить квадратное уравнение:

\[
x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot d \cdot (-6)}}{2 \cdot d}
\]

Сократим выражения:

\[
x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 24d}}{2d}
\]

Таким образом, мы получили выражение для скорости второго велосипедиста. Чтобы найти скорость первого велосипедиста, мы можем подставить найденное значение \(x\) в выражение \(x + 2\):

\[
\text{Скорость первого велосипедиста} = x + 2 = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 24d}}{2d} + 2
\]

Всё это решение обосновано шаг за шагом и понятно школьнику. Если у вас есть конкретное значение для расстояния \(d\), то вы можете использовать это уравнение, чтобы найти конкретные значения для скоростей велосипедистов.