Каковы условия экстремума функции Z=1+15x-2x^2-xy-2y^2?

Солнечная_Луна_8463

34

Хорошо. Чтобы найти условия экстремума функции \(Z = 1 + 15x - 2x^2 - xy - 2y^2\), нам потребуется взять ее частные производные по переменным \(x\) и \(y\) и найти точки, в которых обе производные равны нулю.

1. Для начала найдем частную производную функции \(Z\) по \(x\):
\[
\dfrac{{\partial Z}}{{\partial x}} = 15 - 4x - y
\]

2. Теперь найдем частную производную функции \(Z\) по \(y\):
\[
\dfrac{{\partial Z}}{{\partial y}} = -x - 4y
\]

3. Теперь приравняем оба уравнения к нулю и решим систему уравнений:
\[
\begin{cases}
\dfrac{{\partial Z}}{{\partial x}} = 15 - 4x - y = 0 \\
\dfrac{{\partial Z}}{{\partial y}} = -x - 4y = 0
\end{cases}
\]

4. Решим первое уравнение относительно \(y\):
\[
y = 15 - 4x
\]

5. Подставим это значение \(y\) во второе уравнение и решим его относительно \(x\):
\[
-x - 4(15 - 4x) = 0 \\
-16x - 60 = 0 \\
-16x = 60 \\
x = -\dfrac{{60}}{{16}} = -3.75
\]

6. Теперь, найдя значение \(x\), подставим его обратно в уравнение \(y = 15 - 4x\):
\[
y = 15 - 4(-3.75) = 15 + 15 = 30
\]

Таким образом, точка \(P(-3.75, 30)\) является точкой экстремума функции \(Z = 1 + 15x - 2x^2 - xy - 2y^2\).

Чтобы узнать, является ли эта точка локальным максимумом или минимумом, мы можем использовать вторые производные для анализа.


7. Найдем частные производные второго порядка:

\[
\dfrac{{\partial^2 Z}}{{\partial x^2}} = -4
\]
\[
\dfrac{{\partial^2 Z}}{{\partial y^2}} = -4
\]
\[
\dfrac{{\partial^2 Z}}{{\partial x \partial y}} = -1
\]

8. Теперь найдем дискриминант \(D = \dfrac{{\partial^2 Z}}{{\partial x^2}} \cdot \dfrac{{\partial^2 Z}}{{\partial y^2}} - \left(\dfrac{{\partial^2 Z}}{{\partial x \partial y}}\right)^2\):
\[
D = (-4) \cdot (-4) - (-1)^2 = 16 - 1 = 15
\]

9. Исходя из значения дискриминанта \(D\), мы можем сказать, что точка \(P(-3.75, 30)\) является точкой седла, так как \(D > 0\) и \(\dfrac{{\partial^2 Z}}{{\partial x^2}} < 0\).

В итоге, условия экстремума функции \(Z = 1 + 15x - 2x^2 - xy - 2y^2\) сводятся к точке седла \(P(-3.75, 30)\).