Каковы вероятности того, что среди выбранных наудачу четырех деталей будет определенное количество нестандартных

Золотой_Медведь

22

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знать общее количество деталей и сколько из них являются нестандартными. Давайте предположим, что общее количество деталей в нашем случае составляет \(N\), а количество нестандартных деталей равно \(M\), где \(M \leq N\).

Вероятность выбрать одну нестандартную деталь из множества всех деталей можно рассчитать, поделив количество нестандартных деталей на общее количество деталей:

\[P(\text{{выбор одной нестандартной детали}}) = \frac{M}{N}\]

Так как выбор каждой детали является независимым событием (предполагая, что мы возвращаем деталь обратно в исходное множество после каждого выбора), мы можем использовать умножение вероятностей для определения вероятности наличия определенного количества нестандартных деталей среди выбранных наудачу.

Предположим, что мы хотим рассчитать вероятность того, что среди выбранных наудачу четырех деталей будет две нестандартных детали. Здесь нам понадобится применить формулу биномиального распределения:

\[P(\text{{два нестандартные детали из четырех}}) = C(4, 2) \cdot \left(\frac{M}{N}\right)^2 \cdot \left(1 - \frac{M}{N}\right)^2\]

где \(C(4, 2)\) представляет количество способов выбрать две детали из четырех и можно вычислить следующим образом:

\[C(4, 2) = \frac{4!}{2! \cdot (4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1} = 6\]

В общем случае, чтобы рассчитать вероятность наличия определенного количества нестандартных деталей среди выбранных наудачу, можно использовать формулу биномиального распределения:

\[P(k \text{{ нестандартные детали из }} n) = C(n, k) \cdot \left(\frac{M}{N}\right)^k \cdot \left(1 - \frac{M}{N}\right)^{n-k}\]

где \(C(n, k)\) представляет количество способов выбрать \(k\) деталей из \(n\) и можно вычислить следующим образом:

\[C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\]

Однако важно отметить, что данная формула предполагает равномерное распределение и возвращение детали обратно в исходное множество после каждого выбора. Если условия задачи отличаются от этих предположений, формула может быть изменена в соответствии с новыми условиями.