Каковы значения индуктивности, емкости контура, периода и частоты свободных колебаний в идеальном контуре с амплитудой

Rak

44

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся уравнения, описывающие зависимости между амплитудой напряжения и тока в контуре, а также формулы для вычисления индуктивности, емкости, периода и частоты свободных колебаний.

В идеальном колебательном контуре, состоящем из индуктивности (L) и емкости (C), амплитуда напряжения (V) и амплитуда тока (I) связаны следующими уравнениями:

\[V = I \cdot Z\]
\[Z = \sqrt{(\omega L)^2 - \left(\frac{1}{\omega C}\right)^2}\]

где \(\omega\) - угловая частота колебаний, определяемая формулой \(\omega = \frac{2\pi}{T}\), где T - период колебаний.

Для начала определим индуктивность (L) и емкость (C) контура. Для этого нам понадобится длина волны (λ) и скорость распространения электромагнитной волны в среде (v):

\[v = \frac{c}{f}\]
\[λ = v \cdot T\]

Здесь с - скорость света, а f - частота колебаний.

Известно, что в идеальном контуре амплитуда напряжения (V) равна 20 В, а амплитуда тока (I) равна 40 мА. Пусть длина волны (λ) составляет L метров.

Из уравнения амплитуды напряжения и тока:

\[V = I \cdot Z\]

мы можем найти импеданс (Z):

\[Z = \frac{V}{I}\]

Подставляя значения в это уравнение, мы получим:

\[Z = \frac{20 \, \text{В}}{40 \, \text{мА}} = 500 \, \text{Ом}\]

Теперь мы можем использовать уравнение импеданса, чтобы определить индуктивность (L) и емкость (C):

\[Z = \sqrt{(\omega L)^2 - \left(\frac{1}{\omega C}\right)^2}\]
\[500 = \sqrt{(\omega L)^2 - \left(\frac{1}{\omega C}\right)^2}\]

Подставим угловую частоту (\(\omega\)) в уравнение:

\(\omega = \frac{2\pi}{T}\)

и перепишем уравнение импеданса в следующем виде:

\[500 = \sqrt{\left(\frac{2\pi L}{T}\right)^2 - \left(\frac{T}{2\pi C}\right)^2}\]

Теперь нам нужно определить период (T) или частоту (f) колебаний. Зная длину волны (λ), мы можем найти скорость распространения (v) с помощью уравнения:

\[v = \frac{c}{f}\]

Теперь мы можем определить период (T):

\[T = \frac{\lambda}{v}\]

\[\lambda = L\], так как длина волны (λ) составляет L метров, и

\[v = \frac{c}{f}\]

\[T = \frac{L}{v}\]

Подставляем это значение в уравнение для импеданса:

\[500 = \sqrt{\left(\frac{2\pi L}{\frac{L}{v}}\right)^2 - \left(\frac{\frac{L}{v}}{2\pi C}\right)^2}\]

Упростив выражение и приведя его к общему знаменателю, мы получим:

\[500 = \sqrt{\frac{\left(\frac{2\pi L}{L/v}\right)^2(v^2)}{\left(\frac{2\pi C}{L/v}\right)^2}}\]

\[500 = \sqrt{\frac{(2\pi)^2 L^2 v^2}{(2\pi)^2 C^2}}\]

\[500 = \frac{L v}{C}\]

Отсюда мы можем найти индуктивность (L):

\[L = \frac{500C}{v}\]

Теперь нам нужно определить частоту (f) колебаний. Мы знаем, что частота (f) определяется как обратное значение периода:

\[f = \frac{1}{T}\]

\[f = \frac{1}{\frac{L}{v}}\]

\[f = \frac{v}{L}\]

Теперь мы можем найти емкость (C):

\[C = \frac{L v}{500}\]

Используя полученные значения индуктивности (L) и емкости (C), мы можем определить период (T) колебаний:

\[T = \frac{L}{v}\]

И, наконец, с помощью уравнения \(\omega = \frac{2\pi}{T}\) получаем частоту (f) колебаний:

\[f = \frac{1}{T}\]

Подставляем в эти формулы значения L, C и v:

\[L = \frac{500C}{v}\]
\[C = \frac{Lv}{500}\]
\[T = \frac{L}{v}\]
\[f = \frac{1}{T}\]

Таким образом, значения индуктивности (L), емкости (C), периода (T) и частоты (f) свободных колебаний в идеальном контуре с амплитудой напряжения 20 В, амплитудой тока 40 мА и длиной волны L метров равны:

Индуктивность (L) = \(\frac{500C}{v}\)

Емкость (C) = \(\frac{Lv}{500}\)

Период (T) = \(\frac{L}{v}\)

Частота (f) = \(\frac{1}{T}\)

Мы можем подставить конкретные значения длины волны (L) и скорости распространения (v), чтобы получить числовые значения для каждого из параметров.