Каковы значения неизвестных сторон и углов треугольника АВС при условии, что АС = 5 см, ВС = 8 см и угол А равен

Сверкающий_Гном

68

Для решения мы можем использовать теорему косинусов, которая устанавливает связь между длинами сторон треугольника и косинусами его углов:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

где:
\(a\), \(b\), \(c\) - стороны треугольника,
\(C\) - угол, противолежащий стороне \(c\).

Известно, что стороны \(АС\) и \(ВС\) равны соответственно 5 см и 8 см, а также угол \(А\) равен 130 градусам. Пусть неизвестные стороны треугольника равны \(а\) и \(b\), а угол \(В\) равен \(B\).

Применим теорему косинусов к треугольнику \(ABC\) для вычисления неизвестной стороны \(AB\):

\[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(A)\]

Подставим известные значения:

\[AB^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(130°)\]

Вычислим косинус угла \(130°\):

\[\cos(130°) = -\cos(180° - 130°) = -\cos(50°)\]

Из таблицы значений косинуса угла (или калькулятора) мы получаем: \(\cos(50°) \approx 0.6428\).

Теперь можем рассчитать значение \(AB\):

\[AB^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 0.6428\]
\[AB^2 = 25 + 64 - 64.56\]
\[AB^2 \approx 24.44\]
\[AB \approx \sqrt{24.44}\]
\[AB \approx 4.94\]

Таким образом, сторона \(AB\) примерно равна 4.94 см.

Для вычисления угла \(B\) используем теорему синусов, которая устанавливает связь между длинами сторон треугольника и синусами его углов:

\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{5}{\sin(130°)} = \frac{4.94}{\sin(B)}\]

Вычислим синус угла \(130°\):

\[\sin(130°) = \sin(180° - 130°) = \sin(50°)\]

Из таблицы значений синуса угла (или калькулятора) мы получаем: \(\sin(50°) \approx 0.7660\).

Теперь можем рассчитать значение угла \(B\):

\[\frac{5}{0.7660} = \frac{4.94}{\sin(B)}\]
\[6.5228 = \frac{4.94}{\sin(B)}\]
\[\sin(B) = \frac{4.94}{6.5228}\]
\[\sin(B) \approx 0.7566\]

Найдем арксинус синуса \(B\):

\[B = \arcsin(0.7566)\]

Из таблицы арксинуса (или калькулятора) мы получаем: \(\arcsin(0.7566) \approx 48.22°\).

Таким образом, стороны и углы треугольника \(ABC\) при данных условиях:
\(AB \approx 4.94 \, \text{см}\),
\(BC = 8 \, \text{см}\),
\(AC = 5 \, \text{см}\),
\(A = 130°\),
\(B \approx 48.22°\).