Каковы значения СК и ВК в прямоугольном треугольнике ∆АВС, если длина биссектрисы АК равна 20, а внешний угол ∆АВС

Мистический_Дракон

41

Чтобы найти значения СК и ВК в прямоугольном треугольнике ∆АВС, используем известные данные: длину биссектрисы АК равную 20 и внешний угол ∆АВС равный 150°.

Для начала, давайте рассмотрим свойства прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике, биссектриса угла А равна половине гипотенузы.

Мы знаем, что биссектриса АК равна 20. Улучим это свойство и найдем длину гипотенузы:

\(\text{Гипотенуза} = 2 \cdot \text{Биссектриса АК} = 2 \cdot 20 = 40\).

Таким образом, длина гипотенузы равна 40.

Теперь нам нужно найти значения СК и ВК. Для начала рассмотрим треугольник САК.

В треугольнике САК, биссектриса АК делит угол САК на два равных угла. Так как угол САК равен 90° (по определению прямоугольного треугольника), то каждый из этих двух углов будет равен 45°.

Теперь рассмотрим треугольник ВАК.

В треугольнике ВАК у нас имеется внешний угол ∆АВС, равный 150°. Внешний угол каждого треугольника равен сумме двух внутренних углов. Так как малый угол В равен 45° (мы выяснили это в предыдущем шаге), то большой угол В будет равен 180° - 45° = 135°.

Итак, мы получили значения углов С, В и А: угол С = 90°, угол В = 135°, угол А = 45°.

Теперь мы можем найти значения СК и ВК, используя теорему синусов. В этом случае:

\(\frac{\text{СК}}{\text{sin}(\text{угла С})} = \frac{\text{Гипотенуза}}{\text{sin}(\text{угла В})}\).

Заменяем известные значения:

\(\frac{\text{СК}}{\text{sin}(90°)} = \frac{40}{\text{sin}(135°)}\).

\(\text{sin}(90°) = 1\) и \(\text{sin}(135°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), поэтому выражение становится:

\(\frac{\text{СК}}{1} = \frac{40}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\).

Упрощаем правую часть:

\(\frac{40}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{40 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{80}{\sqrt{2}}\).

Для удобства делаем умножение числителя и знаменателя на \(\sqrt{2}\):

\(\frac{80}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{80\sqrt{2}}{2} = 40\sqrt{2}\).

Таким образом, мы находим, что СК равно \(40\sqrt{2}\).

Теперь найдем ВК. Воспользуемся теоремой синусов снова:

\(\frac{\text{ВК}}{\text{sin}(\text{угла В})} = \frac{\text{Гипотенуза}}{\text{sin}(\text{угла С})}\).

Заменяем значения:

\(\frac{\text{ВК}}{\text{sin}(135°)} = \frac{40}{\text{sin}(90°)}\).

С учетом того, что \(\text{sin}(135°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\text{sin}(90°) = 1\), мы получаем:

\(\frac{\text{ВК}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{40}{1}\).

Упрощаем:

\(\frac{40}{1} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{80}{\sqrt{2}} = 40\sqrt{2}\).

Таким образом, ВК также равно \(40\sqrt{2}\).

Итак, значения СК и ВК в прямоугольном треугольнике ∆АВС равны \(40\sqrt{2}\).