Каковы значения u, для которых неравенство u^2 - 3u + 2 > 0 выполняется, используя график соответствующего квадратного

Dasha_5482

16

Для решения данной задачи, изначально, нам необходимо построить график квадратного трехчлена \(u^2 - 3u + 2\). Учитывая, что корни этого трехчлена равны 1, мы знаем, что он имеет пересечение с осью абсцисс.

Давайте начнем с построения графика:

1. Найдем вершину функции. Для этого воспользуемся формулой \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты перед \(x^2\) и \(x\) соответственно. В нашем случае \(a = 1\) и \(b = -3\), поэтому \(x = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}\). Таким образом, вершина графика находится в точке \(\left(\frac{3}{2}, f\left(\frac{3}{2}\right)\right)\).

2. Рассмотрим поведение графика трехчлена в зависимости от значения \(u\) относительно вершины. Если \(u < \frac{3}{2}\), то \(u - \frac{3}{2}\) будет отрицательным числом, и значение трехчлена будет положительным. Если \(u > \frac{3}{2}\), то \(u - \frac{3}{2}\) будет положительным числом, что приведет к отрицательному значению трехчлена. Если \(u = \frac{3}{2}\), то трехчлен будет равен 0.

3. Таким образом, наш график будет иметь вид параболы, направленной вниз, с вершиной в точке \(\left(\frac{3}{2}, 0\right)\). И неравенство \(u^2 - 3u + 2 > 0\) будет выполняться в двух интервалах:

a) Для \(u < 1\) (т.к. корни квадратного трехчлена равны 1) или \(u \in (-\infty, 1)\).

b) Для \(u > 2\) или \(u \in (2, +\infty)\).

Таким образом, значения \(u\), при которых неравенство \(u^2 - 3u + 2 > 0\) выполняется, можно записать как \(u \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)\).