Каковы значения выпуска продукции и числа работников, при которых достигается производственный оптимум, исходя

Vladimir

7

Производственная функция, данная вам в задаче, выглядит следующим образом:

\[q = 72l + 15l^2 - l^3\]

где \(q\) - количество выпускаемой продукции, а \(l\) - количество работников.

Чтобы найти значения выпуска продукции и числа работников, при которых достигается производственный оптимум, необходимо найти экстремум данной функции. В данном случае мы будем находить максимум, так как нам нужно найти точку, при которой достигается наибольший выпуск продукции.

Для этого продифференцируем функцию по количеству работников \(l\):

\[\frac{dq}{dl} = 72 + 30l - 3l^2\]

Чтобы найти точку экстремума, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[72 + 30l - 3l^2 = 0\]

Составим квадратное уравнение и решим его с помощью квадратного корня:

\[3l^2 - 30l - 72 = 0\]

\[l^2 - 10l - 24 = 0\]

Применяя формулу дискриминанта, найдем значения \(l\):

\[D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196\]

\[l_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{196}}{2} = \frac{10 + 14}{2} = 12\]

\[l_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{196}}{2} = \frac{10 - 14}{2} = -2\]

Из полученных значений для \(l\), мы видим, что \(l_2 = -2\). Отрицательное значение работников не имеет смысла в данной задаче, поэтому его можно отбросить.

Таким образом, оптимальное количество работников для достижения максимального выпуска продукции равно \(l = 12\).

Чтобы найти соответствующий выпуск продукции, подставим \(l = 12\) в исходную функцию:

\[q = 72 \cdot 12 + 15 \cdot 12^2 - 12^3 = 864 + 2160 - 1728 = 1296\]

Таким образом, при оптимальном количестве работников \(l = 12\) достигается максимальный выпуск продукции \(q = 1296\).