Какой логарифмический декремент затухания колебаний, если амплитуда колебаний груза массой 20 г на пружине с жесткостью

Mark

38

Чтобы найти логарифмический декремент затухания колебаний, нам необходимо использовать следующую формулу:

\[\delta = \frac{1}{n} \ln \left(\frac{x_1}{x_2}\right)\]

Где:
\(\delta\) - логарифмический декремент затухания
\(n\) - количество периодов затуханий
\(x_1\) - амплитуда колебаний в начальный момент времени
\(x_2\) - амплитуда колебаний через \(n\) периодов затухания

В данной задаче у нас известны следующие данные:
\(x_1 =\) амплитуда колебаний в начальный момент времени (когда \(t = 0\) мин)
\(x_2 = \frac{x_1}{6}\) - амплитуда колебаний через \(n\) периодов затухания (когда \(t = 20\) мин)
\(t = 20\) мин - время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в 6 раз
\(m = 20\) г - масса груза
\(k = 5\) Н/м - жесткость пружины

Найдем значение \(x_1\) из условия задачи. Мы знаем, что амплитуда колебаний уменьшается в 6 раз, поэтому:

\[x_2 = \frac{x_1}{6}\]
\[x_1 = 6x_2\]

Далее, мы можем использовать закон Гука для колебаний на пружине:

\[m\cdot \omega^2 = k\]

Где:
\(\omega\) - циклическая частота колебаний
\(\omega = 2\pi\nu\), где \(\nu\) - частота колебаний (1/Т)

Решим уравнение для \(\omega\):

\[m\cdot (2\pi\nu)^2 = k\]
\[\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\]

Теперь найдем количество периодов затуханий \(n\). Мы знаем, что амплитуда колебаний уменьшается в 6 раз за время 20 минут. Обозначим период колебаний как \(T\):

\[T = \frac{1}{\nu}\]

Тогда количество периодов затуханий \(n\) будет равно:

\[n = \frac{t}{T}\]

Разделив 20 минут на период колебаний, мы получим количество периодов затуханий.

Теперь, когда у нас есть все необходимые значения, мы можем приступить к расчету логарифмического декремента затухания:

\[\delta = \frac{1}{n} \ln \left(\frac{x_1}{x_2}\right)\]

Подставим значения:

\[\delta = \frac{1}{\frac{t}{T}} \ln \left(\frac{6x_2}{x_2}\right)\]

\[\delta = \frac{T}{t} \ln \left(\frac{6}{1}\right)\]

Таким образом, мы получили формулу для расчета логарифмического декремента затухания колебаний:

\[\delta = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k}{m}}} \cdot t \cdot \ln \left(\frac{6}{1}\right)\]

Подставив известные значения в эту формулу, мы можем найти значение логарифмического декремента затухания колебаний.