Какой радиус у цилиндра с одинаковой высотой и такой же боковой поверхностью, если усеченный конус имеет радиус

Raduzhnyy_Den

49

Для начала давайте разберемся, что такое боковая поверхность и образующая фигур.

Боковая поверхность цилиндра - это поверхность, которая образована развёрткой боковой поверхности конуса или цилиндра. Зная образующую конуса, мы можем рассчитать боковую поверхность по формуле \( S_{\text{бп}} = \pi \cdot r \cdot l_{\text{бп}} \), где \( S_{\text{бп}} \) - боковая поверхность, \( \pi \) - число Пи, \( r \) - радиус основания конуса и \( l_{\text{бп}} \) - длина боковой поверхности конуса.

Образующая фигуры - это прямая, которая проходит через центр основания и вершину фигуры. Высота цилиндра и образующая конуса являются одной и той же прямой.

У нас есть условия: радиус основания конуса равен 1 см и 5 см, а образующая - \( \sqrt{24} \) см. Мы хотим определить радиус цилиндра с боковой поверхностью, равной боковой поверхности конуса.

Для начала найдем длину боковой поверхности конуса по формуле \( l_{\text{бп}} = \sqrt{r^2 + h^2} \), где \( r \) - радиус основания, \( h \) - высота конуса.

Для конуса с радиусом 1 см получим: \( l_{\text{бп}}_1 = \sqrt{1^2 + (\sqrt{24})^2} \), а для конуса с радиусом 5 см: \( l_{\text{бп}}_2 = \sqrt{5^2 + (\sqrt{24})^2} \).

Теперь мы можем найти боковую поверхность цилиндра по формуле \( S_{\text{бп}} = \pi \cdot r \cdot l_{\text{бп}} \), где \( \pi \) - число Пи, \( r \) - радиус цилиндра и \( l_{\text{бп}} \) - длина боковой поверхности.

Для цилиндра с такой же боковой поверхностью, как у конуса с радиусом 1 см: \( \pi \cdot r_1 \cdot l_{\text{бп}}_1 = \pi \cdot r_1 \cdot \sqrt{1^2 + (\sqrt{24})^2} \), а для цилиндра с боковой поверхностью, как у конуса с радиусом 5 см: \( \pi \cdot r_2 \cdot l_{\text{бп}}_2 = \pi \cdot r_2 \cdot \sqrt{5^2 + (\sqrt{24})^2} \).

Таким образом, мы получили два уравнения, в которых неизвестными являются радиусы цилиндров \( r_1 \) и \( r_2 \):

\[
\begin{cases}
\pi \cdot r_1 \cdot \sqrt{1^2 + (\sqrt{24})^2} = \pi \cdot r_2 \cdot \sqrt{5^2 + (\sqrt{24})^2} \\
S_{\text{бп}}_1 = S_{\text{бп}}_2
\end{cases}
\]

Поскольку у нас есть отношение между боковыми поверхностями конусов, мы можем использовать это отношение, чтобы найти радиусы цилиндров.

Разделим первое уравнение на второе:

\[
\frac{\pi \cdot r_1 \cdot \sqrt{1^2 + (\sqrt{24})^2}}{S_{\text{бп}}_1} = \frac{\pi \cdot r_2 \cdot \sqrt{5^2 + (\sqrt{24})^2}}{S_{\text{бп}}_2}
\]

После сокращения \( \pi \) и перегруппировки получаем:

\[
\frac{r_1}{S_{\text{бп}}_1} = \frac{r_2}{S_{\text{бп}}_2}
\]

Теперь мы можем найти радиусы цилиндров, подставив значения боковых поверхностей:

\[
r_1 = \frac{S_{\text{бп}}_1}{S_{\text{бп}}_2} \cdot r_2
\]

Поскольку боковые поверхности у нас равны, то:

\[
r_1 = r_2
\]

Таким образом, радиус цилиндра с одинаковой высотой и такой же боковой поверхностью будет равен радиусу основания усеченного конуса. В нашем случае, радиус цилиндра будет равен 1 см или 5 см, в зависимости от выбранного конуса.