Какую функцию f(x) нужно найти, чтобы F(x) была первообразной для функции √3x+1 на интервале (-1;+бесконечность)?

Вечный_Путь

38

Для того чтобы найти функцию \( f(x) \), которая является первообразной для функции \( \sqrt{3x+1} \) на интервале \((−1;+\infty)\), нам необходимо воспользоваться формулой для нахождения первообразной.

Первообразной для функции \( \sqrt{3x+1} \) является функция \( F(x) = \frac{2}{3} (3x+1)^{3/2} + C \), где \( C \) - произвольная постоянная.

Для того чтобы \( F(x) \) была первообразной для функции \( \sqrt{3x+1} \), функция \( f(x) \) должна быть производной от функции \( F(x) \). То есть, \( f(x) = F"(x) \).

Вычислим производную функции \( F(x) \):

\[ F"(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{3} (3x+1)^{3/2} + C \right) \]

\[ = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} (3x+1)^{1/2} \cdot 3 \]

\[ = 3(3x+1)^{1/2} \]

Таким образом, функция \( f(x) = 3\sqrt{3x+1} \) будет являться искомой функцией \( f(x) \).