Какую работу совершил идеальный двухатомный газ, когда он сначала изотермически расширился до температуры T1 = 300

Саранча

62

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать закон Гей-Люссака для идеального газа, а также знания о изотермическом и адиабатическом процессах.

Изначально, газ проходит изотермический процесс, что означает, что его температура остается постоянной на протяжении всего процесса. Для изотермического процесса, отношение давления к объему остается постоянным. Это можно записать в виде:

\( P_1 \cdot V_1 = P_2 \cdot V_2 \),

где \( P_1 \) и \( V_1 \) - исходное давление и объем газа, а \( P_2 \) и \( V_2 \) - конечное давление и объем газа.

Поскольку газ изотермически расширяется до температуры \( T_1 = 300 \) K, мы знаем, что конечная температура равна \( T_2 = T_1 = 300 \) K. Поэтому мы можем записать:

\( P_1 \cdot V_1 = P_2 \cdot V_2 \) (1).

Затем, газ нагревается, повышая давление в 3 раза. Этот процесс будет являться адиабатическим, то есть, без обмена теплом между газом и окружающей средой. Закон Гей-Люссака для адиабатического процесса гласит:

\( P_1 \cdot V_1^\gamma = P_2 \cdot V_2^\gamma \),

где \( P_1 \) и \( V_1 \) - исходное давление и объем газа, \( P_2 \) и \( V_2 \) - конечное давление и объем газа, а \( \gamma \) - показатель адиабаты.

Так как нам не дана информация о показателе адиабаты \( \gamma \), мы можем воспользоваться универсальным значением для двухатомного идеального газа, которое равно \( \gamma = \frac{7}{5} \).

Таким образом, мы можем записать:

\( P_1 \cdot V_1^\gamma = P_2 \cdot V_2^\gamma \) (2).

Мы знаем, что газ повысил свое давление в 3 раза, то есть \( P_2 = 3 \cdot P_1 \). Подставляя данное значение в уравнение (2), мы получаем:

\( P_1 \cdot V_1^\gamma = 3 \cdot P_1 \cdot V_2^\gamma \).

Учитывая, что \( P_1 \neq 0 \), мы можем сократить \( P_1 \) с обеих сторон уравнения:

\( V_1^\gamma = 3 \cdot V_2^\gamma \).

Так как у нас есть уравнение только с параметрами объемов \( V_1 \) и \( V_2 \), но мы хотим построить график процесса в координатах давление-объем, мы должны преобразовать уравнение, используя объемы и давления.

Мы знаем, что изотермический процесс описывается уравнением \( P \cdot V = P_1 \cdot V_1 \), и адиабатический процесс описывается уравнением \( P \cdot V^\gamma = P_1 \cdot V_1^\gamma \).

Из уравнения (1), мы можем выразить \( P_2 \) через \( P_1 \), \( V_1 \) и \( V_2 \):

\( P_2 = \frac{{P_1 \cdot V_1}}{{V_2}} \).

Подставляя данное значение в уравнение (2), мы получаем:

\( P \cdot V^\gamma = \frac{{P_1 \cdot V_1}}{{V_2}} \cdot V_2^\gamma \).

Сокращаем \( P_1 \) и \( V_2^\gamma \):

\( P \cdot V^\gamma = P_1 \cdot V_1 \).

Объединяем уравнения для изотермического и адиабатического процессов:

\( P \cdot V^\gamma = P_1 \cdot V_1 \) (3).

Теперь, имея уравнение (3), мы можем построить график процесса в координатах давление-объем. Представим на графике начальное состояние газа (точка A) с давлением \( P_1 \) и объемом \( V_1 \). Затем, с использованием уравнения (3), мы можем найти координаты точки B, где газ достигает конечного давления и объема.

Таким образом, график будет иметь вид изотермы (начальная часть - процесс расширения газа при постоянной температуре) и адиабаты (завершающая часть - газ нагревается при постоянном давлении).

Надеюсь, данное пошаговое решение помогло вам понять процесс, приведенный в задаче. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!