Какую силу F действует на тело массой m = 200 кг, направленную под углом β = 30 градусов к горизонту вниз

Ябедник

41

Для решения данной задачи мы воспользуемся вторым законом Ньютона, который гласит, что сумма всех действующих на тело сил равна произведению его массы на ускорение:

\[ \sum F = ma \]

В данной задаче имеется несколько сил, действующих на тело. Давайте разобьем их на компоненты, чтобы легче составить уравнение.

Сила тяжести (вес) тела направлена вертикально вниз. Ее значение можно найти с помощью формулы:

\[ F_{\text{тяж}} = mg \]

где \( m = 200 \) кг - масса тела, а \( g = 9.8 \) м/с² - ускорение свободного падения.

Перепишем эту формулу с учетом значения массы и ускорения:

\[ F_{\text{тяж}} = 200 \cdot 9.8 \]

Сила трения действует в направлении, противоположном движению тела по горизонтальной плоскости и можно найти с помощью формулы:

\[ F_{\text{тр}} = \mu \cdot F_{\text{н}} \]

где \( \mu = 0.2 \) - коэффициент трения, а \( F_{\text{н}} \) - нормальная реакция, равная весу тела \( F_{\text{тяж}} \). Запишем эту формулу с учетом уже найденной силы тяжести:

\[ F_{\text{тр}} = 0.2 \cdot (200 \cdot 9.8) \]

Теперь, когда у нас есть сила трения и значение ускорения тела, мы можем определить силу F с использованием угла β. Поскольку только две силы действуют на горизонтальной плоскости (сила тяжести и сила трения), мы можем представить силу F как векторную сумму этих сил.

Чтобы разложить силу F на его горизонтальную и вертикальную компоненты, мы можем использовать угол β:

\[ F_{\text{гор}} = F \cdot \cos(\beta) \]
\[ F_{\text{верт}} = F \cdot \sin(\beta) \]

Теперь мы можем составить уравнение на основе второго закона Ньютона для горизонтальной и вертикальной составляющих силы F:

\[ \sum F_{\text{гор}} = ma_{\text{гор}} \]
\[ \sum F_{\text{верт}} = ma_{\text{верт}} \]

Подставив найденные значения в эти уравнения, получим:

\[ F \cdot \cos(\beta) - F_{\text{тр}} = ma_{\text{гор}} \]
\[ F \cdot \sin(\beta) - F_{\text{тяж}} = ma_{\text{верт}} \]

Теперь остается только решить систему уравнений относительно F.Выразим силу F из первого уравнения и подставим ее во второе уравнение:

\[ F = \frac{m \cdot a_{\text{гор}} + F_{\text{тр}}}{\cos(\beta)} \]
\[ \frac{m \cdot a_{\text{гор}} + F_{\text{тр}}}{\cos(\beta)} \cdot \sin(\beta) - F_{\text{тяж}} = ma_{\text{верт}} \]

Теперь подставим все известные значения в полученное уравнение:

\[ \frac{(200 \cdot 250) + (0.2 \cdot (200 \cdot 9.8))}{\cos(30^\circ)} \cdot \sin(30^\circ) - (200 \cdot 9.8) = 200 \cdot a_{\text{верт}} \]

Вычислив данное выражение, получим значение силы F, действующей на тело m:

\[ F = \frac{(200 \cdot 250) + (0.2 \cdot (200 \cdot 9.8))}{\cos(30^\circ)} \cdot \sin(30^\circ) - (200 \cdot 9.8) \]