Какую структуру можно использовать для вычисления логических выражений и каким образом можно представить таблицы

Kamen

20

Для вычисления логических выражений в школьной математике часто применяют структуру, называемую алгеброй логики или булевой алгеброй. Она основана на понятии булевых переменных, которые могут принимать только два значения: истина (1) или ложь (0). Для работы с булевыми переменными используются логические операции, такие как "И" (логическое умножение), "ИЛИ" (логическое сложение) и "НЕ" (логическое отрицание).

Таблица истинности — это способ представления всех возможных значений логического выражения в виде таблицы. В таблице истинности каждой переменной присваивается значение 0 или 1, и затем высчитывается значение всего выражения в каждой строке таблицы.

Теперь рассмотрим задачи:

1) а) Дано выражение (р∨((q∧s)⊕r))∧¬(r∧¬s), где каждая буква обозначает логическую переменную (p, q, r, s). Давайте составим таблицу истинности для данного выражения:

\[
\begin{array}{cccc|c}
p & q & r & s & (p\lor((q\land s)\oplus r))\land\neg(r\land\neg s) \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & \\
0 & 0 & 0 & 1 & \\
0 & 0 & 1 & 0 & \\
0 & 0 & 1 & 1 & \\
0 & 1 & 0 & 0 & \\
0 & 1 & 0 & 1 & \\
0 & 1 & 1 & 0 & \\
0 & 1 & 1 & 1 & \\
1 & 0 & 0 & 0 & \\
1 & 0 & 0 & 1 & \\
1 & 0 & 1 & 0 & \\
1 & 0 & 1 & 1 & \\
1 & 1 & 0 & 0 & \\
1 & 1 & 0 & 1 & \\
1 & 1 & 1 & 0 & \\
1 & 1 & 1 & 1 & \\
\end{array}
\]

Теперь осталось заполнить значения в столбце выражения. Для этого применим операции по порядку, согласно логическим правилам. Например, для первой строки таблицы выражение будет выглядеть так:

\[
(0\lor((0\land 0)\oplus 0))\land\neg(0\land\neg 0)
\]

Вычислим каждое из этих подвыражений:

\[
(0\land 0) = 0, \quad (0\oplus 0) = 0, \quad (0\land\neg 0) = 0
\]

Теперь можно вычислить значение всего выражения:

\[
(0\lor 0)\land\neg 0 = 0\land 1 = 0
\]

Повторим этот процесс для каждой строки таблицы, и получим следующую таблицу истинности:

\[
\begin{array}{cccc|c}
p & q & r & s & (p\lor((q\land s)\oplus r))\land\neg(r\land\neg s) \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
\end{array}
\]

1) г) Дано выражение (p∧¬q)⇒r. Для построения таблицы истинности составим выражение, заменяя имеющиеся переменные на их значения:

\[
\begin{array}{ccc|c}
p & q & r & (p\land\neg q)\Rightarrow r \\
\hline
0 & 0 & 0 & \\
0 & 0 & 1 & \\
0 & 1 & 0 & \\
0 & 1 & 1 & \\
1 & 0 & 0 & \\
1 & 0 & 1 & \\
1 & 1 & 0 & \\
1 & 1 & 1 & \\
\end{array}
\]

Теперь заполним значения в столбце выражения. Для этого применим операции по порядку, согласно логическим правилам. Например, для первой строки таблицы выражение будет выглядеть так:

\[
(0\land \neg 0)\Rightarrow 0
\]

Вычислим каждое из этих подвыражений:

\[
(0\land \neg 0) = 0\land 1 = 0
\]

Теперь можно вычислить значение всего выражения:

\[
0\Rightarrow 0 = 1
\]

Повторим этот процесс для каждой строки таблицы, и получим следующую таблицу истинности:

\[
\begin{array}{ccc|c}
p & q & r & (p\land\neg q)\Rightarrow r \\
\hline
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{array}
\]

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять, как строить таблицы истинности для логических выражений. Если у вас возникли еще вопросы или что-то не ясно, пожалуйста, спросите. Я всегда готов помочь!